Question

1．如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为菱形，AB=1，∠DAB=60°，AA₁=$\sqrt{3}$，BD中点为O，A₁O⊥平面ABCD，E、F分别为A₁D₁，AB的中点．
（1）求证：EF∥平面BB₁D₁D₁；
（2）求三棱锥A₁-BDC₁的体积．

Answer 1

分析 （1）取A₁B₁的中点G，由线面平行证面面平行，再由面面平行得线面平行；
（2）利用等积法把三棱锥A₁-BDC₁的体积转化为三棱锥C₁-A₁BD的体积求解．

解答 （1）证明：取A₁B₁的中点G，连接EG、GF，则EG∥D₁B₁，∴EG∥平面BB₁D₁D，

GF∥BB₁，∴GF∥平面BB₁D₁D，
又EG∩GF=G，∴平面EGF∥平面BB₁D₁D₁，
则EF∥平面BB₁D₁D₁；
（2）解：∵AB=1，∠DAB=60°，∴AO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
在Rt△A₁OA中，又AA₁=$\sqrt{3}$，∴∠A₁AO=60°，
则A₁C₁⊥平面A₁BD，∴A₁C₁为三棱锥C₁-A₁BD的高，等于AC=$\sqrt{3}$．
∴${V}_{{A}_{1}-BD{C}_{1}}={V}_{{C}_{1}-{A}_{1}BD}=\frac{1}{3}•\frac{1}{2}BD•{A}_{1}O{•A}_{1}{C}_{1}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\frac{1}{2}×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{12}$．

点评 本题给出底面为菱形的四棱柱，证明直线与平面平行并探求了平面与平面成直角的问题，着重考查了线面平行的判定，以及利用等积法转化求棱锥的体积等知识，属于中档题．