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已知:矩形AEFD的两条对角线相交于点M(2,0),AE边所在直线的方程为:x-3y-6=0,点T(-1,1)在AD边所在直线上.
(1)求矩形AEFD外接圆P的方程.
(2)△ABC是⊙P的内接三角形,其重心G的坐标是(1,1),求直线BC的方程.
分析:(1)由矩形的性质得到直线AD与直线AB垂直,因为两直线垂直时斜率的乘积为-1,所以由直线AB的斜率得到直线AD的斜率,又直线AD过点N,由N的坐标和求出的直线AD的斜率写出直线AD的方程,与直线AB的方程联立即可求出点A的坐标,然后利用两点间的距离公式求出|AM|的长即为矩形外接圆的半径,根据矩形的性质得到矩形外接圆的圆心即为点M,根据圆心和半径写出圆的标准方程即可.
(2)连AG延长交BC于点N(x0,y0),则N点是BC中点,连MN,由G是△ABC的重心,可知
AG
=2
GN
,从而(1,3)=2(x0-1,y0-1),即
x0=
3
2
y0=
5
2
,又M是圆心,N是BC中点,∴MN⊥BC,且 KMN=-5,从而KBC=
1
5
,故可求直线BC的方程.
解答:解:(1)设A点坐标为(x,y)
KAE=
1
3
且 AE⊥AD,∴KAD=-3又T(-1,1)在AD上,∴
x-3y-6=0
y-1
x+1
=-3
,∴
x=0
y=-2
即A点的坐标为(0,-2)
又∵M点是矩形AEFD两条对角线的交点,∴M点(2,0)即为矩形AEFD外接圆的圆心,其半径r=|MA|=2
2

∴⊙P的方程为(x-2)2+y2=8
(2)连AG延长交BC于点N(x0,y0),则N点是BC中点,连MN
∵G是△ABC的重心,∴
AG
=2
GN
,∴(1,3)=2(x0-1,y0-1),∴
x0=
3
2
y0=
5
2

∵M是圆心,N是BC中点,∴MN⊥BC,且 KMN=-5,∴KBC=
1
5
,∴y-
5
2
=
1
5
(x-
3
2
)
即直线BC的方程为x-5y+11=0
点评:此题考查学生掌握矩形的性质及两直线垂直时斜率的关系,灵活运用两点间的距离公式化简求值,会根据圆心和半径写出圆的标准方程,是一道中档题.
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