Question

函数f（x）=log_a（3-ax）（a＞0，a≠1）
（1）当a=2时，求函数f（x）的定义域；
（2）是否存在实数a，使函数f（x）在[1，2]递减，并且最大值为1，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意可得，3-2x＞0，解不等式可求函数f（x）的定义域
（2）假设存在满足条件的a，由a＞0且a≠1可知函数t=3-ax为单调递减的函数，则由复合函数的单调性可知，y=log_at在定义域上单调递增，且t=3-ax＞0在[1，2]上恒成立，f（1）=1，从而可求a的范围

解答：解：（1）当a=2时，f（x）=log₂（3-2x）
∴3-2x＞0
解得x＜

3

2

即函数f（x）的定义域（-∞，

3

2

）
（2）假设存在满足条件的a，
∵a＞0且a≠1，令t=3-ax，则t=3-ax为单调递减的函数
由复合函数的单调性可知，y=log_at在定义域上单调递增，且t=3-ax＞0在[1，2]上恒成立
∴a＞1且由题可得f（1）=1，3-2a＞0，
∴log_a（3-a）=1，2a＜3
∴3-a=a，且a＜

3

2

故a的值不存在

点评：本题主要考查了对数函数定义域的求解，对数函数与一次函数复合而成的复合函数的单调性的应用，解题中要注意，不要漏掉真数t=3-ax＞0的要求