Question

（2012•济南二模）已知函数f（x）=

2x-x3(x≤0) ( 1 3 )x-log2x(x＞0)

，若x₀是y=f（x）的零点，且0＜t＜x₀，则f（t）（　　）

A．恒小于0

B．恒大于0

C．等于0

D．不大于0

Answer 1

分析：当x≤0时，f（x）=0无解．当x＞0时，由题意可得f（x）=0的解为x=x₀．由于函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，f（x₀）=0，故当0＜t＜x₀时，f（t）恒大于零．

解答：解：当x≤0时，f（x）=2^x-x³，由 f（x）=0得 2^x-x³=0，此方程无解．
当x＞0时，f（x）=(

1

3

)x-log₂x，由f（x）=0得 (

1

3

)x-log₂x=0，即 (

1

3

)x=log₂x，
由题意可得此方程的解为x=x₀．
由于函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，f（x₀）=0，
∴当0＜t＜x₀时，f（t）恒大于零，
故选B．

点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，函数的单调性的应用，体现了化归与转化的数学思想，属于中档题．