Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D为AC的中点，点D₁是A₁C₁上的一点，若BC₁∥平面AB₁D₁，则

A1D1

D1C1

等于（　　）

• A．

  1

  2

• B．1
• C．2
• D．3

Answer 1

分析：利用线面、面面平行的判定定理和性质定理、反证法即可得出．

解答：解：若BC₁∥平面AB₁D₁，则

A1D1

D1C1

=1．如图所示：
①当D₁点满足

A1D1

D1C1

=1时，由平行四边形ADC₁D₁可得DC₁∥AD₁，∵DC₁?平面AB₁D₁，AD₁?平面AB₁D₁，∴DC₁∥平面AB₁D₁．
同理DB∥平面AB₁D₁，又∵DB∩DC₁=D，∴平面BDC₁∥平面AB₁D₁．可得BC₁∥平面AB₁D₁，满足已知条件．
②假设点D₁不是线段A₁C₁的中点而满足已知条件BC₁∥平面AB₁D₁，则可取线段A₁C₁的中点E，由（1）可知：平面BC₁D∥平面AB₁E，
∴平面AB₁D₁∥平面AB₁E，这与平面AB₁D₁∩平面AB₁E相矛盾，因此假设不成立，故点D₁是线段A₁C₁的中点．
故选B．

点评：熟练掌握线面、面面平行的判定定理和性质定理、反证法是解题的关键．