Question

18．已知函数f（x）=x²-a|x-2|，其中a＞0
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当x∈[2，4]，有f（x）＞0恒成立，求a的范围；
（3）当x∈[0，4]时，若函数f（x）的最大、最小值分别为M（a）、N（a），求M（a）-N（a）

Answer 1

分析 （1）讨论当x≥2时，当x＜2时，求出对称轴，讨论与区间的关系，即可得到所求单调区间；
（2）由题意可得x²-a|x-2|＞0，x=2时，不等式显然成立；2＜x≤4时，即有a＜$\frac{{x}^{2}}{x-2}$，运用基本不等式，可得最小值，进而得到a的范围；
（3）去掉绝对值，求出对称轴，讨论当0＜a≤4时，当4＜a≤6时，当a＞6时，讨论对称轴和区间的关系，运用单调性可得最值，进而f（x）的最值，可得它们的差．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=x²-|x-2|，
当x≥2时，f（x）=x²-x+2=（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{7}{4}$，
可得在x≥2时，f（x）递增；
当x＜2时，f（x）=x²+x-2=（x+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{9}{4}$，
可得在x≤-$\frac{1}{2}$，f（x）递减；在-$\frac{1}{2}$＜x＜2时，f（x）递增．
综上可得f（x）的增区间为（-$\frac{1}{2}$，+∞），减区间为（-∞，-$\frac{1}{2}$）；
（2）当x∈[2，4]，有f（x）＞0恒成立，
即为x²-a|x-2|＞0，x=2时，不等式显然成立；
2＜x≤4时，即有a＜$\frac{{x}^{2}}{x-2}$=（x-2）+$\frac{4}{x-2}$+4，
由0＜x-2≤2，可得（x-2）+$\frac{4}{x-2}$+4≥2$\sqrt{（x-2）•\frac{4}{x-2}}$+4=8，
当且仅当x-2=2即x=4时，取得最小值8，
则a的范围是（0，8）；
（3）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+ax-2a，0≤x≤2}\\{{x}^{2}-ax+2a，2＜x≤4}\end{array}\right.$，
当0≤x≤2时，f（x）的对称轴为x=-$\frac{a}{2}$＜0，f（x）在[0，2]递增，
即有f（0）为最小值且为-2a，f（2）为最大值4；
当2＜x≤4时，对称轴为x=$\frac{a}{2}$，当0＜a≤4时，$\frac{a}{2}$≤2，（2，4]为增区间，
即有f（x）的最小值为f（2）=4，f（4）=16-2a；
当4＜a≤6时，f（x）的最小值为f（$\frac{a}{2}$）=2a-$\frac{{a}^{2}}{4}$，最大值为f（4）=16-2a；
当a＞6时，f（x）在（2，4]递减，可得f（4）最小，且为16-2a．
综上可得，当0＜a≤6时，M（a）=16-2a，N（a）=-2a，M（a）-N（a）=16；
当a＞6时，M（a）=4，N（a）=-2a，M（a）-N（a）=4+2a．

点评 本题考查带绝对值问题的单调性和恒成立，以及最值问题的解法，注意运用分类讨论的思想方法，以及去绝对值的方法，正确分类和讨论对称轴和区间的关系是解题的关键．