Question

19．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且$\sqrt{15}$b=4asinB．
（1）求sinA的值；
（2）若a=$\sqrt{10}$，且△ABC的面积为$\frac{3\sqrt{15}}{4}$，求b+c的值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化简已知的等式，根据sinB不为0，两边同时除以sinB后，得到sinA的值；
（2）利用三角形面积公式可求bc的值，根据已知及余弦定理即可解得b+c的值．

解答 解：（1）∵由$\sqrt{15}$b=4asinB．得：$\sqrt{15}$sinB=4sinAsinB，
又∵锐角△ABC中，sinB≠0，
∴sinA=$\frac{\sqrt{15}}{4}$；
（2）∵a=$\sqrt{10}$，且△ABC的面积为$\frac{3\sqrt{15}}{4}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}×$bc×$\frac{\sqrt{15}}{4}$=$\frac{3\sqrt{15}}{4}$，解得：bc=6，
∴由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，可得：10=${b}^{2}+{c}^{2}-2×b×c×\frac{1}{4}$=（b+c）²-（2bc+$\frac{bc}{2}$）=（b+c）²-15，解得：b+c=5．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，熟练掌握并灵活应用相关公式定理是解题的关键，属于中档题．