Question

已知数列{a_n}的前n项的和为s_n=2ⁿ-1（n∈N⁺），数列{b_n}满足b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N⁺），b₃=11，且其前9项的和为153．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设cn=

bn-2

3an

，数列{c_n}前n项的和为T_n，求使不等式Tn＞

k

2

对一切n∈N⁺都成立的所有正整数k．

Answer 1

分析：（1）由项与前n项和的关系a_n=s_n-s_n-1（n≥2），a₁=s₁，得a_n=2^n-1，由所给等式推出数列{b_n}为等差数列，由已知条件列方程组求出首项和公差，进而得数列{b_n}的通项公式；
（2）求（1）知数列{a_n}，{b_n}的通项公式，代入求出数列{c_n}的通项公式，由错位相减法求出其前n项和，判断T_n的增减性，求出最小项，代入不等式，求得正整数k．

解答：解：a_n=s_n-s_n-1=2ⁿ-1-（2^n-1-1）=2ⁿ-2^n-1=2^n-1（n≥2），
当n=1时，a₁=s₁=1，符合上式，∴a_n=2^n-1，
∵b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N⁺），
∴b_n+2+b_n=2b_n+1（n∈N⁺），
∴数列{b_n}为等差数列，
∴

b1+2d=11 9b1+ 9×8 2 d=153

得

b1=5 d=3

∴b_n=5+3（n-1）=3n+2．
（2）cn=

bn-2

3an

=

n

2n-1

，
∴T_n=

1

20

+

2

21

+

3

22

+…+

n-1

2n-2

+

n

2n-1

，

1

2

T_n=

1

21

+

2

22

+

3

23

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

，
∴

1

2

T_n=1+

1

21

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=1+

1 2 (1-  ( 1 2 )n-1)

1- 1 2

-

n

2n

=2-

n+2

2n

∴Tn=4-

n+2

2n-1

，∵Tn+1-Tn=

n+1

2n

＞0，∴T_n递增，
∴T_n＞T₁=1，∴

k

2

＜1?k＜2，因为k为正整数，所以k=1．

点评：用项与前n项和之间的关系，注意n=1的时候；已知数列为等差数列，求通项公式，求首项和公差即可；用错位相减法求数列的前n项和，用时要观察项的特征，是否是等差数列的项与等比数列的项的乘积．