Question

已知函数f(x)=sin(2x+

π

3

)．
（Ⅰ）在给定的坐标系内，用“五点作图法”列表画出函数y=f（x）在一个周期内的图象；
（Ⅱ）如何由函数f（x）的图象通过适当的变换得到函数y=sinx的图象，写出变换过程．
（Ⅲ）若f(x)=-

3

5

，x∈(0，

π

2

)，求sin2x的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接利用五点法，令2x+

π

3

=0，

π

2

，π，

3π

2

，2π，求出对应的x即可找到五个特殊点的坐标，即可得到函数图象．
（Ⅱ）直接根据函数图象的平移变换和伸缩变换规律即可得到；
（Ⅲ）先根据已知条件求出cos（2x+

π

3

）的值，在利用两角差的余弦公式即可求出结论．

解答：解：（Ⅰ）令2x+

π

3

=0，

π

2

，π，

3π

2

，2π，
解得：x=-

π

6

，

π

12

，

π

3

，

7π

12

，

5π

6

．
所以函数f(x)=sin(2x+

π

3

)过点（-

π

6

，0）（

π

12

，1），（

π

3

，0），（

7π

12

，-1），（

5π

6

，0）．
在题中所给的坐标系中把这五个点用光滑的曲线连起来即可．
（Ⅱ）函数f（x）=sin（2x+

π

3

）的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍得到f（x）=sin（x+

π

3

），在整体相右平移

π

3

个单位即可得到f（x）=sinx．
（Ⅲ）∵x∈（0，

π

2

），
∴2x+

π

3

∈（

π

3

，

4π

3

），
又因为f（x）=sin（2x+

π

3

）=-

3

5

＜0．
∴cos（2x+

π

3

）=-

1-sin 2(2x+  π 3 )

=-

4

5

．
∴sin2x=sin[（2x+

π

3

）-

π

3

]
=sin（2x+

π

3

）•cos

π

3

-cos（2x+

π

3

）•sin

π

3

=（-

3

5

）×

1

2

-（-

4

5

）×

3

2

=

4 3 -3

10

．

点评：本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．注意分清哪个是平移前的函数，哪个是平移后的函数．