【题目】已知函数f(x)=x2ax3(a>0),x∈R.若对任意的x1∈(2,+∞),都存在x2∈(1,+∞),使得f(x1)f(x2)=1,则a的取值范围是_____.
【答案】
【解析】
由=﹣2ax2+2x,令=0,得,根据对任意的x1∈(2,+∞),都存在x2∈(1,+∞),使得f(x1)f(x2)=1,分, ,
三种情况讨论f(x1),f(x2)的值域即可.
因为=﹣2ax2+2x,
令=0得,
①:当,即a≥1时,<0,在x∈[1,+∞)恒成立,所以f(x)在[1,+∞)递减,
∵,,
若对任意的x1∈(2,+∞),都存在x2∈(1,+∞),使得f(x1)f(x2)=1,
所以f(x1)的值域为(),f(x2)的值域为(),
由f(x1)f(x2)=1得:.
显然,当f(x1)→﹣∞时,→0(负数),故要满足结论,首先需满足:
,,解得.
所以.
②当,即时,f(x1)在(2,+∞)上递减,故此时f(x1),
f(x2)在(1,)递增,在递减,故0.
此时只需即可,解得.
③当,即时,f(x1),f(x2)的最大值都是0,所以能取到所有正实数,
而,故此时不满足题意.
综上,a的取值范围是[].
故答案为:
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【题目】如图,某学校拟建一块五边形区域的“读书角”,三角形区域ABE为书籍摆放区,沿着AB、AE处摆放折线形书架(书架宽度不计),四边形区域为BCDE为阅读区,若∠BAE=60°,∠BCD=∠CDE=120°,DE=3BC=3CD=m.
(1)求两区域边界BE的长度;
(2)若区域ABE为锐角三角形,求书架总长度AB+AE的取值范围.
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【题目】已知对某校的100名学生进行不记名问卷调查,内容为一周的课外阅读时长和性别等进行统计,如表:
(1)课外阅读时长在20以下的女生按分层抽样的方式随机抽取7人,再从7人中随机抽取2人,求这2人课外阅读时长不低于15的概率;
(2)将课外阅读时长为25以上的学生视为“阅读爱好”者,25以下的学生视为“非阅读爱好”者,根据以上数据完成2×2列联表:
非阅读爱好者 | 阅读爱好者 | 总计 | |
女生 | |||
男生 | |||
总计 |
能否在犯错概率不超过0.01的前提下,认为学生的“阅读爱好”与性别有关系?
附:,
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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【题目】在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).M是曲线上的动点,将线段OM绕O点顺时针旋转得到线段ON,设点N的轨迹为曲线.以坐标原点O为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线的极坐标方程;
(2)在(1)的条件下,若射线与曲线分别交于A, B两点(除极点外),且有定点,求的面积.
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【题目】已知△ABC的三个内角A,B,C对应的边长分别为a,b,c,向量m=(sinB,1﹣cosB)与向量n=(2,0)的夹角θ的余弦值为.
(1)求角B的大小;
(2)若b=,求a+c的取值范围.
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【题目】已知函数,x∈(b﹣3,2b)是奇函数,
(1)求a,b的值;
(2)若f(x)是区间(b﹣3,2b)上的减函数且f(m﹣1)+f(2m+1)>0,求实数m的取值范围.
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【题目】某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品,其生产的总成本(万元)与年产量(吨)之间的函数关系式可以近似的表示为,已知此生产线年产量最大为吨.
(1)求年产量为多少吨时,生产每吨产品的平均成本最低,并求最低成本;
(2)若每吨产品平均出厂价为40万元,那么当年产量为多少吨时,可以获得最大利润?最大利润是多少?
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【题目】体育测试成绩分为四个等级:优、良、中、不及格.某班50名学生参加测试结果如下:
等级 | 优(86~100分) | 良(75~85分) | 中(60~74分) | 不及格(1~59分) |
人数 | 5 | 21 | 22 | 2 |
(1)估计该班学生体育测试的平均成绩;
(2)从该班任意抽取1名学生,求这名学生的测试成绩为“优”或“良”的概率.
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