分析:根据
f(x)=,我们易求出
f(=
1-,而
=1-,故可将比较
f(与
的大小,转化为比较2
n与n
2的大小.利用数学归纳法易证明结论.
解答:解:
f()===1-,
而
=1-,
∴
f()与
的大小等价于2
n与n
2的大小.
当n=1时,2
1>1
2;当n=2时,2
2=2
2;
当n=3时,2
3<3
2;当n=4时,2
4=4
2;
当n=5时,2
5>5
2.
猜想当n≥5时,2
n>n
2.
以下用数学归纳法证明:
①当n=5时,由上可知不等式成立;
②假设n=k(k≥5)时,不等式成立,即2
k>k
2,则
当n=k+1时,2
k+1=2•2
k>2k
2,
又∵2k
2-(k+1)
2=(k-1)
2-2>0(∵k≥5),即2
k+1>(k+1)
2,
∴n=k+1时,不等式成立.
综合①②对n≥5,n∈N
*不等式2
n>n
2成立.
∴当n=1或n≥5时,
f()>;
当n=3时,
f()<;
当n=2或4时,
f()=.
点评:本题考查的知识点是数学归纳法及数的大小比较,数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质,其步骤为:设P(n)是关于自然数n的命题,若1)(奠基) P(n)在n=1时成立;2)(归纳) 在P(k)(k为任意自然数)成立的假设下可以推出P(k+1)成立,则P(n)对一切自然数n都成立.