Question

（理科）已知二次函数f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）的定义域为[-1，1]，且|f（x）|的最大值为M．
（Ⅰ）试证明|1+b|≤M；
（Ⅱ）试证明M≥

1

2

；
（Ⅲ）当M=

1

2

时，试求出f（x）的解析式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题设条件知二次函数f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）的定义域为[-1，1]，且|f（x）|的最大值为M，故必有M≥|f（-1）|与M≥|f（1）|，两式相加再结合不等式的性质即可证明结论；
（II）由题意M≥|f（-1）|，M≥|f（0）|，M≥|f（1）|，可先得出4M＞3M=|f（-1）|+f（0）|+|f（1）|≥2，即可证明出结论；
（III）当M=

1

2

时，可得出，|f(0)|=|b|≤

1

2

，-

1

2

≤b≤

1

2

①同理-

1

2

≤1+a+b≤

1

2

②-

1

2

≤1-a+b≤

1

2

③由这几个不等式解出a，b，c的取值范围，判断出它们的值，即可求出函数的解析式

解答：（Ⅰ）证明：∵M≥|f（-1）|=|1-a+b|，M≥|f（1）|=|1+a+b|
∴2M≥|1-a+b|+|1+a+b|≥|（1-a+b）+（1+a+b）|=2|1+b|
∴M≥|1+b|
（Ⅱ）证明：依题意，M≥|f（-1）|，M≥|f（0）|，M≥|f（1）|
又|f（-1）|=|1-a+b|，|f（1）|=|1+a+b|，|f（0）|=|b|
∴4M≥|f（-1）|+|f（0）|+|f（1）|=|1-a+b|+2|b|+|1+a+b|≥|（1-a+b）-2b+（1+a+b）|=2
∴M≥

1

2

（Ⅲ）解：依M=

1

2

时，|f(0)|=|b|≤

1

2

，-

1

2

≤b≤

1

2

①同理-

1

2

≤1+a+b≤

1

2

②-

1

2

≤1-a+b≤

1

2

③
②+③得：-

3

2

≤b≤-

1

2

④由①、④得：b=-

1

2

．
当b=-

1

2

时，分别代入②、③得：

-1≤a≤0 0≤a≤1

⇒a=0，因此f(x)=x2-

1

2

．

点评：本题考查不等式的证明与函数最值的应用，综合性较强，解答本题关键是理解题意构造出不等式，再由不等式的性质进行变形证明出结论，本题中前两个小题需要先利用最值得出不等式，再由所得的不等式进行组合构造出可以证明出结论的形式，此两题对观察能力要求较高，第三小题也是一个能力型的题，通过最值得出参数所满足的不等式，综合利用这几个不等式作出判断得出参数的值，利用不等式求值要注意由

a≤b a≥b

等价得出a=b，这是利用不等式求值的基础，本题考查了转化的思想，