Question

已知函数f（x）=lnx-ax+a（a∈R），g（x）=x²+2x+m（x＜0）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若a=0，函数y=f（x）在A（2，f（2））处的切线与函数y=g（x）相切于B（x₀，g（x₀）），求实数m的值．

Answer 1

（1）∵f（x）=lnx-ax+a（a∈R），
∴f′(x)=

1-ax

x

，x＞0，
若a≤0，则f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；
若a＞0，则当x∈(0，

1

a

)时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，

1

a

）上单调递增，当x∈（

1

a

，+∞）时，f′（x）＜0，
∴f（x）在∈（

1

a

，+∞）上单调递减；
（2）当a=0时，f（x）=lnx，f′（x）=

1

x

，
∴f′（2）=

1

2

，
∴函数y=f（x）在A（2，f（2））处的切线方程为y=

1

2

(x-2)+ln2，
又函数y=g（x）在B（x₀，g（x₀））处的切线方程为y=(2x0+2)(x-x0)+x02+2x0+m，
整理得y=(2x0+2)x-x02+m，
由已知得

1 2 =2(x0+1) ln2-1=-x02+m

，
解得x0=-

3

4

，m=-

7

16

+ln2．