Question

如图有三根针和套在一根针上的n（n∈N^*）个金属片．按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上． 
1．每次只能移动1个金属片；                      
2．较大的金属片不能放在较小的金属片上面．
现用a_n表示把n个金属片从中间的针移到右边的针上所至少需要移动的次数，请回答下列问题：
（1）写出a₁，a₂，a₃，并求出a_n；
（2）记b_n=a_n+1，求和Sn=

1≤i≤j≤n

bibj（i，j∈N^*）；（其中

1≤i≤j≤n

bibj表示所有的积b_ib_j（1≤i≤j≤n）的和．例：

1≤i≤j≤2

b_ib_j=

b

2 1

+b₁b₂+

b

2 2

=

1

2

[（b₁+b₂）²+（

b

2 1

+

b

2 2

）]
（3）证明：

1

7

≤

S1

S2

+

S1S3

S2S4

+…+

S1S3…S2n-1

S2S4…S2n

＜

4

21

（n∈N^*）

Answer 1

分析：（1）由题意要将n个圆盘全部转移到C柱上，只需先将上面n-1个圆盘转移到B柱上，需要a_n-1次转移，然后将最大的那个圆盘转移到C柱上，需要一次转移，再将B柱上的n-1个圆盘转移到C柱上，需要a_n-1次转移，所以有a_n=2a_n-1+1，利用构造法可求a_n；
（2）由b_n=a_n+1=2ⁿ，Sn=

1≤i≤j≤n

bibj=

1

2

[（b₁+b₂+…+b_n）²+（

b

2 1

+

b

2 2

+…+b_n²）化简可得Sn=

1≤i≤j≤n

bibj=

4

3

（2ⁿ-1）（2ⁿ⁺¹-1），再
（3）令c_n=

S1S3…S2n-1

S2S4…S2n

，则当n≥2时，c_n＜

1

4

•

1

22n-1-1

=

1

4

•c_n-1，从而利用放缩法可证．

解答：解：（1）a₁=1，a₂=3，a₃=7
事实上，要将n个圆盘全部转移到C柱上，只需先将上面n-1个圆盘转移到B柱上，需要a_n-1次转移，然后将最大的那个圆盘转移到C柱上，需要一次转移，再将B柱上的n-1个圆盘转移到C柱上，需要a_n-1次转移，所以有a_n=2a_n-1+1则a_n+1=2（a_n-1+1）⇒a_n+1=2ⁿ，所以a_n=2ⁿ-1
（2）b_n=a_n+1=2ⁿ
则Sn=

1≤i≤j≤n

bibj=

1

2

[（b₁+b₂+…+b_n）²+（

b

2 1

+

b

2 2

+…+b_n²）]=

1

2

[（2+2²+…+2ⁿ）²+（2²+2⁴+…+2²ⁿ）]=

1

2

[（2ⁿ⁺¹-2）²+

4

3

（4ⁿ-1）]=

4

3

（2ⁿ-1）（2ⁿ⁺¹-1），
（3）令c_n=

S1S3…S2n-1

S2S4…S2n

，
则当n≥2时c_n=

S1S3…S2n-1

S2S4…S2n

=

(21-1)(22-1)

(22-1)(23-1)

•

(23-1)(24-1)

(24-1)(25-1)

•…•

(22n-1-1)(22n-1)

(22n-1)(22n+1-1)

=

1

22n+1-1

=

1

4

•

1

22n-1- 1 4

＜

1

4

•

1

22n-1-1

=

1

4

•c_n-1＜(

1

4

)n-1c₁
又c₁=

1

23-1

=

1

7

＜

4

21

∴

S1

S2

+

S1S3

S2S4

+…+

S1S3…S2n-1

S2S4…S2n

＜c₁+

1

4

c₁+（

1

4

）²c₁+…+（

1

4

）^n-1c₁=

1-( 1 4 )n

1- 1 4

•c₁=

4

21

-

4

21

•(

1

4

)n＜

4

21

又∵c_n＞0恒成立
∴

S1

S2

+

S1S3

S2S4

+…+

S1S3…S2n-1

S2S4…S2n

≥c₁=

1

7

综上所述：

1

7

≤

S1

S2

+

S1S3

S2S4

+…+

S1S3…S2n-1

S2S4…S2n

＜

4

21

（n∈N^*）．

点评：本题的（1）问关键是从特殊中发现一般性的规律，考查构造法求数列的通项；（2）问体现等价转化的数学思想，同时应注意放缩法的运用．