Question

某次有奖竞猜活动设有A、B两组相互独立的问题，答对问题A可赢得奖金3千元，答对问题B可赢得奖金6千元．规定答题顺序可任选，但只有一个问题答对才能解答下一个问题，否则中止答题．假设你答案对问题A、B的概率依次为．
（1）若你按先A后B的次序答题，写出你获得奖金的数额ξ的分布列及期望Eξ；
（2）你认为获得奖金期望值的大小与答题顺序有关吗？证明你的结论．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意知，获得奖金数额ξ的可取值为0，3（千元），9（千元），利用概率的乘法公式分别求出它们的概率，列成表格即得；
（2）为了研究获得奖金期望值的大小与答题顺序有关与否，只须分别求出按先A后B的次序答题和按先B后A的次序答题的分布列，再利用数学期望公式计算出数学期望值比较大小即可．
解答：解：（1）按先A后B的次序答题，获得奖金数额ξ的可取值为0，3（千元），9（千元）
因为（4分）
所以ξ的分布列为
（5分）
ξ的数学期望值Eξ=0×P（ξ=0）+3×P（ξ=3）+9×P（ξ=9）=2.5（6分）
（2）解：按先B后A的次序答题，获得奖金数额η的可取值为0，6（千元），9（千元）
因为（10分）
所以η的数学期望Eη=0×P（η=0）+6×P（η=3）+9×（η=9）=2.5（11分）
由于按先A后B或先B后A的次序答题，获得奖金期望值的大小相等，故获得奖金期望值的大小与答题顺序无关．（13分）
点评：本题主要考查了离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量的期望与方差，属于基础题之列．