Question

13．已知：正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，边长为1，E为棱CC₁的中点．
（1）求证：BD⊥AE；
（2）求二面角E-AD-C的正切值．

Answer 1

分析 （1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AE⊥BD．
（2）求出平面ADE的法向量和平面ADC的法向量，由此利用向量法能求出二面角E-AD-C的正切值．

解答 （1）证明：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（1，0，0），E（0，1，$\frac{1}{2}$），B（1，1，0），D（0，0，0），
$\overrightarrow{AE}$=（-1，1，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{BD}$=（-1，-1，0），
∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BD}$=1-1+0=0，
∴$\overrightarrow{AE}⊥\overrightarrow{BD}$，∴AE⊥BD．
（2）解：$\overrightarrow{DA}$=（1，0，0），$\overrightarrow{DE}$=（0，1，$\frac{1}{2}$），
设平面ADE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DA}=x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=y+\frac{1}{2}z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，-2），
又平面ADC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
y设二面角E-AD-C的平面角为α，
则cosα=|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{-2}{\sqrt{5}}$|=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴tanα=$\frac{1}{2}$，
∴二面角E-AD-C的正切值为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，是基础题，解题时要注意向量法的合理运用．