Question

已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AD⊥CD，AB=1，PA⊥平面ABCD，PA=AD=DC=2AB，点E是PC中点．
（Ⅰ）求证：BE⊥DC
（Ⅱ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F-AB-P的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面垂直的性质

专题：空间角

分析：（Ⅰ）由题意取CD中点M，要证BE⊥DC，可证DC⊥平面EBM，需证CD⊥EM，CD⊥BM，然后利用已知的线面垂直得到面面垂直，再由面面垂直的性质得到线面垂直，最后得到线线垂直，由线面垂直的性质得答案；
（Ⅱ）以A为坐标原点，分别以AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设

CF

=λ

CP

(0≤λ≤1)，由BF⊥AC转化为向量的数量积为0求得λ的值，然后分别求出两个平面EAB与ABP的一个法向量，由法向量所成的角的余弦值得答案．

解答： 解：（Ⅰ）证明：如图，

取CD中点M，连接MB，
∵PA⊥平面ABCD，PA?平面PAD，
∴平面ABCD⊥平面PAD，
又平面ABCD∩平面PAD=AD，且AD⊥DC，
∴DC⊥平面PAD，
∴DC⊥PD，
∵E，M分别为PC，DC的中点，
∴EM∥BD，
∴CD⊥EM．
∵AB∥CD，DC=2AB，M为CD中点，
∴四边形ABMD为平行四边形，
又AD⊥CD，
∴四边形ABMD为矩形，
则CD⊥BM．
又EM∩BM=M，
∴CD⊥平面EBM，
∴BE⊥DC；
（Ⅱ）解：以A为坐标原点，分别以AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．

BC

=(1，2，0)，

CP

=(-2，-2，2)，

AC

=(2，2，0)，

AB

=(1，0，0)，
设

CF

=λ

CP

(0≤λ≤1)，

BF

=

BC

+

CF

=

BC

+λ

CP

=（1-2λ，2-2λ，2λ），
由

BF

•

AC

=0，得λ=

3

4

，
则

BF

=(-

1

2

，

1

2

，

3

2

)．
设

n

=(x，y，z)为平面FAB的一个法向量，
由

n • AB =0 n • BF =0

，得

x=0 - 1 2 x+ 1 2 y+ 3 2 z=0

，取z=1，得y=-3．
∴

n

=(0，-3，1)．
平面ABP的一个法向量为

m

=(0，1，0)，
cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

3 10

10

．
由已知可知，二面角F-AB-P为锐角，
∴二面角F-AB-P的余弦值为

3 10

10

．

点评：本题考查了平面与平面垂直的判断，考查了平面与平面垂直的性质，训练了利用空间向量求二面角的大小，关键是建立正确的空间右手系，是中档题．