Question

设x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx²+x的两个极值点.
(1)试确定常数a和b的值；
(2)试判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值还是极小值，并说明理由.

Answer 1

(1) a=－,b=－, (2) 在x=1处函数f(x)取得极小值,在x=2处函数取得极大值－ln2

 f′(x)=+2bx+1
(1)由极值点的必要条件可知:f′(1)=f′(2)=0,
即a+2b+1=0,且+4b+1=0,解方程组可得a=－,b=－,
∴f(x)=－lnx－x²+x
(2)f′(x)=－x^-1－x+1,当x∈(0,1)时，f′(x)＜0,
当x∈(1,2)时，f′(x)＞0,
当x∈(2,+∞)时，f′(x)＜0,
故在x=1处函数f(x)取得极小值,在x=2处函数取得极大值－ln2.