Question

如图所示，将一块直角三角形板ABO置于平面直角坐标系中，已知AB=OB=1，AB⊥OB，点P(

1

2

，

1

4

)是三角板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P的任一直线MN将三角板锯成△AMN．问：
（1）求直线MN的方程
（2）求点M，N的坐标
（3）应如何确定直线MN的斜率，可使锯成的△AMN的面积最大？

Answer 1

分析：（1）依题意得直线MN过点P(

1

2

，

1

4

)且其斜率存在，由直线的点斜式方程可写出答案；
（2）根据题意，M为OA与MN的交点，N为AB与MN的交点，易得OA、OB的方程，由（1）中所得的MN的方程，结合两直线交点的求法，联立直线的方程，易得M、N的坐标；
（3）先根据三角形面积公式写出S_△AMN关于k的关系式，设t=1-k，则f(t)=4t+

1

t

，转化为求f（t）的最大值问题，用作差法判断出f（t）在[

1

2

，

3

2

]是增函数，即t=

3

2

时，f（t）取得最大值，将t=

3

2

代入f（t）中，可得答案．

解答：解：（1）依题意得直线MN过点P(

1

2

，

1

4

)且其斜率存在，则MN方程为：y-

1

4

=k(x-

1

2

)．
（2）∵AB⊥OB，|AB|=|OB|=1，
∴直线OA方程为：y=x 直线AB方程为：x=1，
由

y- 1 4 =k(x- 1 2 ) y=x

，可得M(

2k-1

4(k-1)

，

2k-1

4(k-1)

)，
且

2k-1

4(k-1)

≥0，可得k≥1或k≤

1

2

，
又由

y- 1 4 =k(x- 1 2 ) x=1

得N(1，

2k+1

4

)且

2k+1

4

≥0，
可得k≤-

1

2

，
∴-

1

2

≤k≤

1

2

；
故M(

2k-1

4(k-1)

，

2k-1

4(k-1)

)，N(1，

2k+1

4

)
（3）S_△AMN=

1

2

•|AN|•h=

1

2

[1-

2k-1

4

][1-

2k-1

4(k-1)

]=

1

32

[4(1-k)+

1

1-k

+4]．
设t=1-k∈[

1

2

，

3

2

]，f(t)=4t+

1

t

．
当

1

2

≤t1＜t2≤

3

2

时，f（t₁）-f（t₂）=(4t1+

1

t1

)-(4t2+

1

t2

)=

(t1-t2)(4t1t2-1)

t1t2

．
∵

1

2

≤t1＜t2≤

3

2

，∴t₁t₂＞0，t₁-t₂＜0，4t₁t₂-1＞0，
∴f（t₁）-f（t₂）＜0，即f（t₁）＜f（t₂）．
∴f（t）在[

1

2

，

3

2

]是增函数，
∴当t=

3

2

时，f(t)=

20

3

，即当1-k=

3

2

时即k=-

1

2

时，
S_△max=

1

32

[

20

3

+4]=

1

3

．

点评：本题考查直线方程的运用，解（3）题时，注意先转化问题，结合函数的性质，通过求函数的最大值的方法，求出答案．