Question

已知函数f（x）=

(2a-1)x+3a-4，x≤t x3-x，x＞t

，无论t取何值，函数f（x）在区间（-∞，+∞）总是不单调．则a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：首先分析f（x）=x³-x，其单调区间．然后根据无论t取何值，函数f（x）在区间（-∞，+∞）总是不单调，判断f（x）=（2a-1）x+3a-4的单调性，求出a的取值范围即可．

解答：解：对于函数f（x）=x³-x，
f'（x）=3x²-1  x＞t
当3x²-1＞0时，即x＞

3

3

或x＜-

3

3

此时f（x）=x³-x，为增函数
当3x²-1＜0时，-

3

3

＜x＜

3

3

∵x＞t，
∴f（x）=x³-x，一定存在单调递增区间
要使无论t取何值，
函数f（x）在区间（-∞，+∞）总是不单调
∴f（x）=（2a-1）x+3a-4不能为增函数
∴2a-1≤0
∴a≤

1

2

故答案为：a≤

1

2

．

点评：本题考查函数单调性的判定与应用，3次函数与1次函数的单调性的判断，属于中档题．