Question

如图，已知Rt△ABC 中，AB=AC=

2

，AD是斜边BC 上的高，以 AD为折痕，将△ABD折起，使∠BDC为直角．
（1）求证：平面ABD⊥平面BDC；
（2）求证：∠BAC=60°
（3）求点D到平面ABC的距离．

Answer 1

分析：（1）由原直角三角形中，AD是斜边BD上的高，得到AD与DB、DC都垂直，利用线面垂直的判定得到AD垂直于面BDC，由线面垂直的性质得到要证得结论；
（2）由原题给出的边的长度，通过解直角三角形分别求出三角形ABC三边的长度，然后利用余弦定理求解∠BAC的大小；
（3）取BC中点E，连结AE、DE后证明平面ADE和平面ABC垂直，在面ADE中作出D与平面ABC的垂线，在直角三角形ADE中，由等积法求得点D到平面ABC的距离．

解答：（1）证明：如图，
∵AD⊥BC，AD⊥DC，BD∩DC=D，∴AD⊥平面BDC．
又AD?平面ABD，∴平面ABD⊥平面BDC；
（2）证明：在原Rt△ABC中，AB=AC=

2

，∴BC=2，
∴BD=DC=1，又折叠后∠BDC=90°，
∴△BDC为等腰Rt△，∴BC=

2

，∴AB=BC=AC，∴∠BAC=60°； 
（3）解：取BC的中点E，∵AB=AC，BD=DC，
∴DE⊥BC，AE⊥BC，∴BC⊥平面ADE，过D点作DM⊥AE，则DM⊥平面ABC．
在Rt△ADE中，AD=1，DE=

2

2

，∴AE=

6

2

，
∴斜边AE上的高DM=

AD•DE

AE

=

1× 2 2

6 2

=

3

3

．
∴D点到平面ABC的距离为

3

3

．

点评：本题考查了平面与平面垂直的判定，考查了点线面间距离的计算，考查了学生的空间想象能力和思维能力，解答的关键是对折叠问题折叠前后的变量与不变量的掌握，是中档题．