Question

16．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，E为BB₁的中点，F为AD的中点，以DA，DC，DD₁为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设平面D₁EF的法向量为（ak，bk，ck）（k≠0），则平面D₁EF的法向量是（4k，-3k，2k）（k≠0）．

Answer 1

分析 求出各个点的坐标，进而求出向量$\overrightarrow{{D}_{1}E}$，$\overrightarrow{{D}_{1}F}$的坐标，结合$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{D}_{1}E}=0\\ \overrightarrow{m}•\overrightarrow{{D}_{1}F}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}ak+bk-\frac{1}{2}ck=0\\ \frac{1}{2}ak-ck=0\end{array}\right.$，可得答案．

解答 解：如下图所示：

∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，E为BB₁的中点，F为AD的中点，
∴D₁（0，0，1），E（1，1，$\frac{1}{2}$），F（$\frac{1}{2}$，0，0），
则$\overrightarrow{{D}_{1}E}$=（1，1，-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{{D}_{1}F}$=（$\frac{1}{2}$，0，-1），
设平面D₁EF的法向量为$\overrightarrow{m}$=（ak，bk，ck）（k≠0），
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{D}_{1}E}=0\\ \overrightarrow{m}•\overrightarrow{{D}_{1}F}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}ak+bk-\frac{1}{2}ck=0\\ \frac{1}{2}ak-ck=0\end{array}\right.$，
令c=2，则a=4，b=-3，
故平面D₁EF的法向量是（4k，-3k，2k），
故答案为：（4k，-3k，2k）（k≠0）

点评 本题考查的知识点是平面的法向量，熟练掌握平面法向量的求法，是解答的关键．