Question

设偶函数f（x）满足F（x）=x²-2x（x＞0），则{x|f（x-1）＞0}=

1. A.
   {x|x＜-2或x＞2}
2. B.
   {x|x＜-1或x＞2}
3. C.
   {x|x＜-2或x＞3}
4. D.
   {x|x＜-1或x＞3}

Answer 1

D
分析：分两种情况考虑：（i）当x大于0时，由f（x）在x大于0时的解析式，表示出f（x-1），列出关于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范围；（ii）当x小于0时，-x大于0，代入x大于0时f（x）的解析式，根据函数为偶函数得到f（x）=f（-x），确定出x小于0时函数的解析式，表示出f（x-1），列出关于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范围，综上，得到满足题意x的集合．
解答：分两种情况考虑：
（i）当x＞0时，f（x-1）=（x-1）²-2（x-1）＞0，
整理得：x²-4x+3＞0，即（x-1）（x-3）＞0，
解得：x＜1（舍去）或x＞3；
（ii）当x＜0时，-x＞0，f（-x）=（-x）²-2•（-x）=x²+2x，
由函数为偶函数，得到f（x）=f（-x），
∴f（x）=x²+2x，
∴f（x-1）=（x-1）²+2（x-1）＞0，
即x²-1＞0，即（x+1）（x-1）＞0，
解得：x＜-1或x＞1（舍去），
综上，{x|f（x-1）＞0}={x|x＜-1或x＞3}．
故选D
点评：此题考查了一元二次不等式的解法，涉及到的知识有：偶函数的性质，以及函数解析式的确定，利用了转化及分类讨论的思想，是一道高考中常考的题型．