Question

已知函数．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）把f（x）的图象向右平移m个单位后，在是增函数，当|m|最小时，求m的值．

Answer 1

解：（ I）f（x）=2cosxcos（x-）-sin²x+sinxcosx
=2cosx（cosxcos+sinxsin）-sin²x+sinxcosx
=cos²x+sinxcosx-sin²x+sinxcosx
=（cos²x-sin²x）+2sinxcosx
=cos2x+sin2x
=2sin（2x+）…（4分）
∴T==π…（6分）
（II）g（x）=2sin（2x-2m+）…（8分）
由2kπ-≤2x-2m+≤2kπ+得单调递增区间为[-+m+kπ，+m+kπ]，
∵g（x）在是增函数，
∴-+m+kπ=0，m=-kπ，…（10分）
∴当|m|最小时，m= …（12分）
分析：（Ⅰ）利用两角差的余弦公式与二倍角公式将f（x）=2cosxcos（x-）-sin²x+sinxcosx化为f（x）=2sin（2x+）及可求其周期；
（Ⅱ）由f（x）=2sin（2x+）的图象向右平移m个单位后，得到g（x）=2sin（2x-2m+），可求其单调增区间为[-+m+kπ，+m+kπ]，再结合g（x）在是增函数，即可求得|m|最小值．
点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，综合考察了两角差的余弦公式与二倍角公式、辅助角公式的应用，考查了正弦函数的单调性，求最值问题等，熟练掌握三角函数公式与三角函数性质是解决问题的关键，属于难题．