Question

5．已知等差数列{a_n}公差不为零，前n项和为S_n，且a₁，a₂，a₅成等比数列，S₅=3a₄+4．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足${b_n}={a_n}•{3^n}$，求数列{b_n}前n项和为T_n．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；
（2）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式几节课得出．

解答 解：（Ⅰ）∵S₅=3a₄+4，
∴5a₁+10d=3（a₁+3d）+4…①
∵a₁、a₂、a₅成等比数列，∴a₁（a₁+4d）=（a₁+d）²…②
联解①、②并结合公差d≠0，得a₁=1，d=2．
∴a₁=1+2（n-1）=2n-1．
（II）${b_n}=（2n-1）*{3^n}$，
${T_n}=1*3+3*{3^2}+…+（2n-3）*{3^{n-1}}+（2n-1）*{3^n}…（1）$，
$3{T_n}=1*{3^2}+3*{3^3}+…+（2n-3）*{3^n}+（2n-1）*{3^{n+1}}…（2）$，
两式相减，整理可得    $-2{T_n}=1*3+2（{3^2}+{3^3}+…+{3^n}）-（2n-1）*{3^{n+1}}$，
∴$-2{T_n}=-6+2（1-n）{3^{n+1}}$，
∴${T_n}=3+（n-1）{3^{n+1}}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．