Question

已知数列{a_n}是等差数列，a₂=4，a₅=10；数列{b_n}的前n项和是T_n，且T_n+

1

2

b_n=1．
（1）求证：数列{b_n}是等比数列；
（2）记c_n=a_n．b_n，求{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）在数列递推式中取n=1求得b1=

2

3

，当n≥2时，由Tn=1-

1

2

bn得Tn-1=1-

1

2

bn-1，两式作差即可证得{b_n}是以

2

3

为首项，

1

3

为公比的等比数列；
（2）解：设出{a_n}的公差为d，由已知求出公差，得到等差数列的通项公式，把{a_n}，{b_n}的通项公式代入c_n=a_n．b_n，利用错位相减法求然后{c_n}的前n项和S_n．

解答： （1）证明：当n=1时，b₁=T₁，由T1+

1

2

b1=1，得b1=

2

3

；
当n≥2时，∵Tn=1-

1

2

bn，Tn-1=1-

1

2

bn-1，
∴Tn-Tn-1=

1

2

(bn-1-bn)，即bn=

1

2

(bn-1-bn)．
∴bn=

1

3

bn-1．
∴{b_n}是以

2

3

为首项，

1

3

为公比的等比数列；
（2）解：设{a_n}的公差为d，则：d=

a5-a2

5-2

=

10-4

3

=2，
∴a_n=a₂+（n-2）d=4+2（n-2）=2n．
由（1）可知：bn=

2

3

•(

1

3

)n-1=2•(

1

3

)n．
c_n=a_n．b_n=2n•2•(

1

3

)n=4n•(

1

3

)n，
∴Sn=4•(

1

3

)+8•(

1

3

)2+…+4(n-1)•(

1

3

)n-1+4n•(

1

3

)n．

1

3

Sn=4•(

1

3

)2+8•(

1

3

)3+…+4(n-1)•(

1

3

)n+4n•(

1

3

)n+1．

2

3

Sn=4•[(

1

3

)+(

1

3

)2+…(

1

3

)n]-4n•(

1

3

)n+1=4•

1 3 [1-( 1 3 )n]

1- 1 3

-4n•(

1

3

)n+1
=2-2•(

1

3

)n-4n•(

1

3

)n+1．
∴Sn=3-(

1

3

)n-1-2n•(

1

3

)n．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的和，是中档题．