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    (本小题满分13分)

    已知几何体的三视图及直观图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．

    （Ⅰ）求此几何体的体积的大小；

    （Ⅱ）求异面直线与所成角的余弦值；

    （Ⅲ）试探究在上是否存在点，使得

    ，并说明理由.

     

    【答案】

     

    (1)16

    (2)

    (3)

    【解析】解：（Ⅰ）由该几何体的三视图知面，且EC=BC=AC=4 ，BD=1，

    ∴．

    ∴．

    即该几何体的体积V为16．

    （Ⅱ）以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系．则A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，1），E（0，0，4）．

    ∴，

    ∴，∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为．

    （Ⅲ）设满足题设的点Q存在,其坐标为（0，m，n），则，

    ，．

    ∵AQBQ，    ∴． ①

     ∵点Q在ED上，∴存在使得，

    ∴．②

    ②代入①得，解得．

    ∴满足题设的点Q存在，其坐标为．

     

     

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