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如图正方形BCDE的边长为a,已知AB=
3
BC,将△ABE沿BE边折起,折起后A点在平面BCDE上的射影为D点,则翻折后的几何体中有如下描述:
①AB与DE所成角的正切值是
2

②AB∥CE;
③VB-ACE的体积是
1
6
a2
④平面ABC⊥平面ADC;
⑤直线EA与平面ADB所成角为30°.
其中正确的有
 
.(填写你认为正确的序号)
考点:命题的真假判断与应用,空间中直线与直线之间的位置关系,平面与平面之间的位置关系
专题:空间位置关系与距离
分析:①由于BC∥DE,则∠ABC(或其补角)为AB与DE所成角;
②AB和CE是异面直线;
③根据三棱锥的体积公式即可求VB-ACE的体积;
④根据面面垂直的判定定理即可证明;
⑤根据直线和平面所成角的定义进行求解即可.
解答: 解:由题意,AB=
3
BC,AE=
2
a,
AD⊥平面BCDE,AD=a,AC=
2
a
①由于BC∥DE,∴∠ABC(或其补角)为AB与DE所成角
∵AB=
3
a,BC=a,AC=
2
a,
∴BC⊥AC,∴tan∠ABC=
2
,故①正确;
②由图象可知AB与CE是异面直线,故②错误.
③VB-ACE的体积是
1
3
S△BCE×AD=
1
3
×
1
2
a3=
1
6
a3
,故③正确;
(4)∵AD⊥平面BCDE,BC?平面BCDE,
∴AD⊥BC,∵BC⊥CD,AD∩CD=D,∴BC⊥平面ADC,
∵BC?平面ABC,∴平面ABC⊥平面ADC,故④正确;
⑤连接CE交BD于F,则EF⊥BD,
∵平面ABD⊥平面BDE,
∴EF⊥平面ABD,连接F,
则∠AFE为直线AE与平面ABD所成角,
在△AFE中,EF=
2
2
a
,AE=
2
a,
∴sin∠EAF=
EF
AF
=
1
2
,则∠EAF=30°,故⑤正确,
故正确的是①③④⑤
故答案为:①③④⑤
点评:本题考查图形的翻折,考查空间线面位置关系,搞清翻折前后的变与不变是关键.综合性较强,难度较大.
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