Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．
（I）试确定点F的位置，使得D₁E⊥平面AB₁F；
（II）当D₁E⊥平面AB₁F时，求二面角C₁-EF-A的大小（结果用反三角函数值表示）．

Answer 1

分析：（I）法一：几何法：要D₁E⊥平面AB₁F，先确定D₁E⊥平面AB₁F内的两条相交直线，由三垂线定理易证D₁E⊥AB₁，同理证明D₁E⊥AF即可．
法二：代数法：建立空间直接坐标系，运用空间向量的数量积等于0，来证垂直．
（II）法一：求二面角C₁-EF-A的大小，转化为求C₁-EF-C的大小，利用三垂线定理方法：E、F都是所在线的中点，
过C连接AC，设AC与EF交于点H，则CH⊥EF，连接C₁H，则CH是C₁H在底面ABCD内的射影．
∠C₁HC是二面角C₁-EF-C的平面角．求解即可．
法二：找出两个平面的法向量，运用空间向量数量积公式求出二面角的余弦值，再求其角．

解答：解法一：（I）连接A₁B，则A₁B是D₁E在面ABB₁A；内的射影
∵AB₁⊥A₁B，∴D₁E⊥AB₁，
于是D₁E⊥平面AB₁F?D₁E⊥AF．
连接DE，则DE是D₁E在底面ABCD内的射影．
∴D₁E⊥AF?DE⊥AF．
∵ABCD是正方形，E是BC的中点．
∴当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF，
即当点F是CD的中点时，D₁E⊥平面AB₁F．（6分）

（II）当D₁E⊥平面AB₁F时，由（I）知点F是CD的中点．
又已知点E是BC的中点，连接EF，则EF∥BD．连接AC，
设AC与EF交于点H，则CH⊥EF，连接C₁H，则CH是
C₁H在底面ABCD内的射影．
C₁H⊥EF，即∠C₁HC是二面角C₁-EF-C的平面角．
在Rt△C₁CH中，∵C₁C=1，CH=

1

4

AC=

2

4

，
∴tan∠C₁HC=

C1C

CH

=

1

2 4

=2

2

．
∴∠C₁HC=arctan2

2

，从而∠AHC₁=π-arctan2

2

．
故二面角C₁-EF-A的大小为π-arctan2

2

．

解法二：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系
（1）设DF=x，则A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），
A₁（0，0，1），B（1，0，1），D₁（0，1，1），E(1，

1

2

，0)，F（x，1，0）∴

D1E

=(1，-

1

2

，-1)，

AB1

=(1，0，1)，

AF

=(x，1，0)
∴

D1E

•

AB1

=1-1=0，即D₁E⊥AB₁
于是D₁E⊥平面AB₁F?D₁E∪AF?

D1E

•

AF

=0?x-

1

2

=0
即x=

1

2

．故当点F是CD的中点时，D₁E⊥平面AB₁F

（2）当D₁E⊥平面AB₁F时，F是CD的中点，又E是BC的中点，连接EF，则EF∥BD．
连接AC，设AC与EF交于点H，则AH⊥EF．连接C₁H，则CH是C₁H在底面ABCD内的射影．
∴C₁H⊥EF，即∠AHC₁是二面角C₁-EF-A的平面角．
∵C1(1，1，1)，H(

3

4

，

3

4

，0)，
∵

HC1

=(

1

4

，

1

4

，1)，

HA

=(-

3

4

，-

3

4

，0)．
∴cos∠AHC1=

HA • HC1

| HA |•| HC1|

，
=

- 3 8

9 8 × 9 8

=-

1

3

，
即∠AHC1=arccos(-

1

3

)=π-arccos

1

3

．
故二面角C₁-EF-A的大小为π-arccos

1

3

．

点评：本小题主要考查线面关系和正方体等基础知识，考查空间想象能力和推理运算能力．空间向量计算法容易出错．