Question

在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=2．
（Ⅰ）求四棱锥P-ABCD的体积V；
（Ⅱ）若F为PC的中点，求证PC⊥平面AEF；
（Ⅲ）求证CE∥平面PAB．

Answer 1

分析：对（I）利用椎体的体积公式V=

1

3

Sh计算求解；
对（II）通过线线垂直?线面垂直?面面垂直，在平面AEF中证明两条相交直线（AF、EF）与PC垂直；
对（III）可以有两种思路，一是构造平行平面，通过证明面面平行⇒线面平行；二是作平行线，通过证明线线平行⇒线面平行．

解答：解：（Ⅰ）在Rt△ABC中，AB=1，
∠BAC=60°，∴BC=

3

，AC=2．
在Rt△ACD中，AC=2，∠CAD=60°，
∴CD=2

3

，AD=4．
∴S_ABCD=

1

2

AB•BC+

1

2

AC•CD=

1

2

×1×

3

+

1

2

×2×2

3

=

5

2

3

．则V=

1

3

×

5

2

3

×2=

5

3

3

．
（Ⅱ）∵PA=CA，F为PC的中点，
∴AF⊥PC．∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．
∵AC⊥CD，PA∩AC=A，
∴CD⊥平面PAC．∴CD⊥PC．
∵E为PD中点，F为PC中点，
∴EF∥CD．则EF⊥PC．
∵AF∩EF=F，∴PC⊥平面AEF．
（Ⅲ）证法一：
取AD中点M，连EM，CM．则EM∥PA．
∵EM?平面PAB，PA?平面PAB，
∴EM∥平面PAB．   …12分
在Rt△ACD中，∠CAD=60°，AC=AM=2，
∴∠ACM=60°．而∠BAC=60°，∴MC∥AB．
∵MC?平面PAB，AB?平面PAB，
∴MC∥平面PAB．
∵EM∩MC=M，
∴平面EMC∥平面PAB．
∵EC?平面EMC，
∴EC∥平面PAB．
证法二：
延长DC、AB，设它们交于点N，连PN．
∵∠NAC=∠DAC=60°，AC⊥CD，
∴C为ND的中点．         …12分
∵E为PD中点，∴EC∥PN．…14分
∵EC?平面PAB，PN?平面PAB，
∴EC∥平面PAB．

点评：本题考查椎体的体积公式；线线垂直，线面垂直的证明方法；线面平行的证明方法．
线面垂直的证明方法：1、线线垂直⇒线面垂直；2、面面垂直⇒线面垂直；3、线线平行⇒线面垂直等
线面平行的证明方法：1、线线平行⇒线面平行；2、面面平行⇒线面平行．
要特别注意定理的条件．