Question

15、定义在R上的函数y=f（x）满足：f（-x）=-f（x），f（1+x）=f（1-x），当x∈[-1，1]时，f（x）=x³，则f（2007）的值是

-1

．

Answer 1

分析：利用已知条件中的两个等式得到f（1+x）=-f（x-1），将x用x+2代替得到函数的周期；利用周期性将f（2007）的值转化为f（-1），代入解析式求出值．

解答：解：∵f（-x）=-f（x），f（1+x）=f（1-x），
∴f（1+x）=-f（x-1）
∴f（x+3）=-f（x+1）
∴f（x+3）=f（x-1）
∴f（x）以4为周期
∴f（2007）=f（502×4-1）=f（-1）
∵当x∈[-1，1]时，f（x）=x³，
∴f（-1）=-1
所以f（2007）的值是-1
故答案为：-1

点评：本题考查通过仿写从已知等式推出新的等式，推出抽象函数的一些性质．