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15、定义在R上的函数y=f(x)满足:f(-x)=-f(x),f(1+x)=f(1-x),当x∈[-1,1]时,f(x)=x3,则f(2007)的值是
-1
分析:利用已知条件中的两个等式得到f(1+x)=-f(x-1),将x用x+2代替得到函数的周期;利用周期性将f(2007)的值转化为f(-1),代入解析式求出值.
解答:解:∵f(-x)=-f(x),f(1+x)=f(1-x),
∴f(1+x)=-f(x-1)
∴f(x+3)=-f(x+1)
∴f(x+3)=f(x-1)
∴f(x)以4为周期
∴f(2007)=f(502×4-1)=f(-1)
∵当x∈[-1,1]时,f(x)=x3
∴f(-1)=-1
所以f(2007)的值是-1
故答案为:-1
点评:本题考查通过仿写从已知等式推出新的等式,推出抽象函数的一些性质.
练习册系列答案
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11、定义在R上的函数y=f(x)满足f(-x)=-f(x),f(1+x)=f(1-x),当x∈[-1,1]时,f(x)=x3,则f(2009)的值是(  )

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0

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3
2
)f′(x)>0(x≠
3
2
)
,若x1<x2,且x1+x2>3,则有(  )

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下列四个命题:
①“a>b”是“2a>2b”成立的充要条件;
②“a=b”是“lga=lgb”成立的充分不必要条件;
③函数f(x)=ax2+bx(x∈R)为奇函数的充要条件是“a=0”
④定义在R上的函数y=f(x)是偶函数的必要条件是
f(-x)f(x)
=1”

其中真命题的序号是
①③
①③
.(把真命题的序号都填上)

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定义在R上的函数y=f(x)满足f(-x)=-f(x),f(1+x)=f(1-x),当x∈[-1,1]时,f(x)=x3,则f(2011)=
-1
-1

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