Question

已知曲线C上任意一点M到点F（0，1）的距离比它到直线l：y=-2的距离小1．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点P（2，2）的直线与曲线C交于A、B两点，设

AP

=λ

PB

．当△AOB的面积为4

2

时（O为坐标原点），求λ的值．

Answer 1

分析：（1）由题设知：点M的轨迹C是以F为焦点，l′为准线的抛物线，由此能求出曲线C的方程．
（2）设直线m的方程为y=kx+（2-2k），代入x²=4y，得x²-4kx+8（k-1）=0，由△=16（k²-2k+2）＞0对k∈R恒成立，知直线m与曲线C恒有两个不同的交点，再由韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式，利用

AP

=λ

PB

、△AOB的面积为4

2

，能求出λ的值．

解答：解：（1）∵点M到点F（1，0）的距离比它到直线l：y=-2的距离小于1，
∴点M在直线l的上方，点M到F（1，0）的距离与它到直线l′：y=-1的距离相等，
∴点M的轨迹C是以F为焦点，l′为准线的抛物线，
所以曲线C的方程为x²=4y．
（2）当直线m的斜率不存在时，它与曲线C只有一个交点，不合题意，
设直线m的方程为y-2=k（x-2），即y=kx+（2-2k），
代入x²=4y，得x²-4kx+8（k-1）=0，（*）
△=16（k²-2k+2）＞0对k∈R恒成立，
所以，直线m与曲线C恒有两个不同的交点，
设交点A，B的坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=4k，x₁x₂=8（k-1），
∵|AB|=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

=

(1+k2)[(x2+x1)-4x2x1]

=4

(1+k2)(k2-2k+2)

，
点O到直线m的距离d=

|2-2k|

1+k2

，
∴S△ABO=

1

2

|AB|•d
=4|k-1|•

k2-2k+2

=4

(k-1)4+(k-1)2

，
∵S△ABO=4

2

，∴4

(k-1)4+(k-1)2

=4

2

，
∴（k-1）⁴+（k-1）²-2=0，
∴（k-1）²=1，或（k-1）²=-2（舍去），∴k=0，或k=2．
当k=0时，方程（*）的解为±2

2

，
若x1=2

2

，x2=-2

2

，则λ=

2+2 2

2 2 -2

=3-2

2

，
若x1=-2

2

，x2=2

2

，则λ=

2+2 2

2 2 -2

=3+2

2

，
当k=2时，方程（*）的解为4±2

2

，
若x1=4+2

2

，x2=4-2

2

，则λ=

-2-2 2

2-2 2

=3+2

2

，
若x1=4-2

2

，x2=4+2

2

，则λ=

-2+2 2

2+2 2

=3-2

2

，
所以，λ=3+2

2

，或λ=3-2

2

．

点评：本题考查曲线方程的求法，考查实数的取值范围的求法．解题时要认真审题，注意抛物线的简单性质、直线与圆锥曲线的位置关系、韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式等知识点的灵活运用．