Question

11．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，直线x+y-2n=0（n∈N^*）经过点（a_n，S_n）．
（1）求出a₁、a₂、a₃、a₄的值；
（2）请你猜想通项公式a_n的表达式，并选择合适的方法证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）直接由已知结合数列递推式计算a₁、a₂、a₃、a₄的值，并猜想a_n的表达式；
（2）由数列递推式得到an=$\frac{1}{2}$an-1+1（n≥2），然后构造等比数列{a_n-2}，由等比数列的通项公式得答案．

解答 解：（1）由题意可得：S_n=2n-a_n，得S₁=2-a₁，即a₁=1．
S₂=a₁+a₂=4-a₂，解得a2=$\frac{3}{2}$．
S₃=a₁+a₂+a₃=6-a₃，解得a3=$\frac{7}{4}$．
S₄=a₁+a₂+a₃+a₄=8-a₄，解得a4=$\frac{15}{8}$．
（2）猜想：an=$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n-1}}$．
证明：由S_n=2n-a_n，得
S_n-1=2（n-1）-a_n-1（n≥2）．
两式作差得，an=$\frac{1}{2}$an-1+1（n≥2）．
即an-2=$\frac{1}{2}$（an-1-2）（n≥2）．
∴数列{a_n-2}是以-1为首项，以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列．
∴an-2=-（$\frac{1}{2}$）n-1，
即an=2-（$\frac{1}{2}$）n-1=$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了归纳猜想思想方法，是中档题．