【题目】对于函数,若在定义域内存在实数x,满足,其中k为整数,则称函数为定义域上的“k阶局部奇函数”.
(1)已知函数,试判断是否为上的“2阶局部奇函数”?并说明理由;
(2)若是上的“1阶局部奇函数”,求实数m的取值范围;
(3)若,对任意的实数,函数恒为上的“k阶局部奇函数”,求整数k取值的集合.
【答案】(1)是,理由见解析;(2);(3)
【解析】
(1)根据题意,为上的“2阶局部奇函数”等价于关于x的方程在上有解,列出方程,解方程即可;
(2)由“1阶局部奇函数”的定义,列出方程,讨论方程成立并有解时参数的取值范围;
(3)根据“k阶局部奇函数”的定义,转化对任意的实数,函数恒为上的“k阶局部奇函数”,为对任意的实数恒成立问题,讨论二次项系数是否为零,不为零时讨论恒成立,再令,求解,即可.
(1)为上的“2阶局部奇函数”等价于关于x的方程在上有解,即:,
化简得:,
解得:
所以是上的“2阶局部奇函数”.
(2)由是上的“1阶局部奇函数”,
且要满足,所以.
因为是上的“1阶局部奇函数”,等价于关于x的方程
在有解,即,化简得:,
所以,
又,所以.
(3)因为恒为R上的“k阶局部奇函数”等价于关于x的方程恒有解.
即,化简得:,
当时,解得,所以满足题意;
当时,,即:对任意的实数恒成立,
即对任意的实数恒成立,
令,是关于t的一次函数且为上的增函数
则,即:,解得:且
综上,整数k取值的集合.
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【题目】已知圆M: ,直线l:,下面五个命题,其中正确的是( )
A.对任意实数k与θ,直线l和圆M有公共点;
B.对任意实数k与θ,直线l与圆M都相离;
C.存在实数k与θ,直线l和圆M相离;
D.对任意实数k,必存在实数θ,使得直线l与圆M相切:
E.对任意实数θ,必存在实数k,使得直线l与圆M相切;
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【题目】对于函数,若存在定义域中的实数,满足且,则称函数为“类” 函数.
(1)试判断,是否是“类” 函数,并说明理由;
(2)若函数,,为“类” 函数,求的最小值.
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【题目】近年来大气污染防治工作得到各级部门的重视,某企业在现有设备下每日生产总成本(单位:万元)与日产量(单位:吨)之间的函数关系式为,现为了配合环境卫生综合整治,该企业引进了除尘设备,每吨产品除尘费用为万元,除尘后当日产量时,总成本.
(1)求的值;
(2)若每吨产品出厂价为48万元,试求除尘后日产量为多少时,每吨产品的利润最大,最大利润为多少?
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【题目】某学校有初级教师21人,中级教师14人,高级教师7人,现采用分层抽样的方法从这些教师中抽取6人对绩效工资情况进行调查.
(1)求应从初级教师,中级教师,高级教师中分别抽取的人数;
(2)若从抽取的6名教师中随机抽取2名做进一步数据分析,求抽取的2名均为初级教师的概率。
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【题目】已知,,函数.
(1)若,且,求的值;
(2)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围;
(3)若关于的方程在上有两个不同的实数根,求正数的取值范围.
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