Question

已知圆C：(x－1)²＋(y－2)²＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)．
(1)证明：直线l与圆相交；
(2)求直线l被圆截得的弦长最小时的直线l的方程．

Answer 1

2x－y－5＝0.

（1）按直线系；（2）由线线垂直，先求斜率，再用点斜式.
解：(1)证明：直线l的方程可化为(x＋y－4)＋m(2x＋y－7)＝0．
∴ 直线l恒过定点A(3，1)．             (5分)
∵(3－1)²＋(1－2)²＝5＜25，
∴点A是圆C内部一定点，从而直线l与圆始终有两个公共点,
即直线与圆相交.                                                 (8分)
(2)圆心为C(1，2)，要使截得的弦长最短，当且仅当l⊥AC．
而C(1，2)，A(3，1)，所以
进而, 直线l的方程为y－1＝2(x－3)，即2x－y－5＝0.              (12分)