Question

4．正三棱锥V-ABC的底面边长是a，侧面与底面成60°的二面角．求
（1）棱锥的侧棱长；
（2）侧棱与底面所成的角的正切值．

Answer 1

分析 （1）过顶点V做VO⊥平面ABC，过O做OD⊥AB，垂足为D，连接VD，则∠VDO为侧面与底面成的二面角，从而∠VDO=60°，分别求出OD、VD的长，由此利用勾股定理能求出棱锥的侧棱长．
（2）连结BO，∠VBO是侧棱与底面所成的角，由此能求出侧棱与底面所成的角的正切值．

解答 解：（1）过顶点V做VO⊥平面ABC
∵V-ABC是正三棱锥，∴O为△ABC中心，
过O做OD⊥AB，垂足为D，连接VD，
则∠VDO为侧面与底面成的二面角，
∵侧面与底面成60°的二面角，∴∠VDO=60°，
∵△ABC的边长是a，∴OD=$\frac{1}{3}CD$=$\frac{1}{3}\sqrt{{a}^{2}-\frac{1}{4}{a}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}a$，
∴cos∠VDO=$\frac{OD}{VD}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{6}a}{VD}$=$\frac{1}{2}$，解得VD=$\frac{\sqrt{3}}{3}a$，
∴VA=$\sqrt{A{D}^{2}+V{D}^{2}}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}}{4}+\frac{{a}^{2}}{3}}$=$\frac{\sqrt{21}a}{6}$．
∴棱锥的侧棱长为$\frac{\sqrt{21}}{6}a$．
（2）连结BO，
∵VO⊥底面ABC，∴∠VBO是侧棱与底面所成的角，
∵OB=2OD=$\frac{\sqrt{3}}{3}a$，VO=$\sqrt{V{D}^{2}-O{D}^{2}}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}}{3}-\frac{{a}^{2}}{12}}$=$\frac{a}{2}$，
∴tan∠VBO=$\frac{VO}{BO}$=$\frac{\frac{a}{2}}{\frac{\sqrt{3}a}{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴侧棱与底面所成的角的正切值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查棱锥的侧棱长和侧棱与底面所成角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．