Question

选修4-2矩阵与变换
（Ⅰ）已知矩阵A=

-1 a b 3

所对应的线性变换把直线l：2x-y=3变换为自身，求A^-1．
（Ⅱ）已知

e1

=

1 1

是矩阵B=

c 1 0 d

属于特征值λ₁=2的一个特征向量，求矩阵B及其另一个特征值及其对应的一个特征向量．

Answer 1

分析：（I）因为矩阵A=

-1 a b 3

对应的变换把直线l：2x-y=3变换为自身，即直线l上的点经过变换后没有变，因此取直线l上的两点，对其进行变换列出方程方程组解出a、b得到矩阵M，最后根据逆矩阵的公式可求出A^-1．
（II）根据特征多项式的一个零点为2，解出c=1且d=2，得B=

1 1 0 2

，再回代到方程f（λ）=0即可解出另一个特征值为λ₂=1，由此即可求出其对应的一个特征向量．

解答：解：（I）在直线l上取两点（

3

2

，0），（0，-3）．
因为

-1 a b 3

•

3 2   0

=

- 3 2   3b 2

，

-1 a b 3

•

0   -3

=

-3a   -9

，…（6分）
∵A对应的变换把直线变换为自身，所以点（-

3

2

，

3

2

b），（-3a，-9）仍在直线l上．
代入直线方程得

-3- 3b 2 =3 -6a+9=3

，解之得

a=1 b=-4

可得矩阵A=

-1 1 -4 3

，运用逆矩阵公式得
A^-1=

1

-3+4

3 -1 4 -1

=

3 -1 4 -1

…（10分）
（II）根据题意，

c 1 0 d

•

1   1

=2

1   1

∴

c+1=2 d=2

，解之得c=1且d=2，得B=

1 1 0 2

由B的特征多项式f（λ）=

.

λ-1 -1 0 λ-2

.

=0，解得矩阵B的另一个特征值λ₂=1
因此，

e2

=

1 0

是属于特征值λ₂=1的特征向量．

点评：本题给出矩阵变换，求矩阵A的逆矩阵并求特征向量．主要考查了逆矩阵的求法、特征值与特征向量的计算的知识，同时考查了计算能力，属于中档题．