Question

19、某公司准备推出一个新产品，打算拨出款项3万6千元在本地的电视台做广告，．当地电视台广告部安排该公司的广告在晚上八点前和九点后做广告．晚八点前的广告每秒400元，九点后的广告每秒600元，每次播出的时间在10到60秒之间．
根据市场调查研究表明，受广告影响的人数依赖于广告播出的时间以及年龄层次，受广告影响的人数总是和广告播出的时间成正比例．广告时每秒影响各年龄组的人数（千人）估计如表所示．

现在的要求是广告宣传至少要影响1500000个年轻人，2000000个中年人和2000000个老年人．该公司也估计了在第一个月内受广告影响的人中，每10个年轻人中有1人、20个中年人中1人、50个老年人中1人将购买一件新产品＜并且假设没有一个人第二次再买＞，则若使第一个月的销售额最大，如何来安排广告？

Answer 1

分析：本题是一个与现实联系紧密的广告策划问题，本题涉及的变量较多，因此弄清问题的意义，确定变量并寻找变量间的关系就显得特别重要．在分析过程中我们可以分以下几个方面来进行考虑：（1）题目里有哪些变量，哪个是主要变量，哪个是制约变量．（2）变量之间满足什么等量（或不等）关系．（3）如果用一个数学模型来刻画，解答这个问题．（4）由（3）的分析计算我们能够得到什么样的结论．

解答：解：（1）变量情况．
主要变量：限制在10秒和60秒之间的两次广告时间；
制约变量：总的费用≤36000元，需影响年轻人数≥1500千人，
需影响中年人数≥2000千人，需影响老年人数≥2000千人．
（2）变量间的关系：
总的费用=（购买的时间×每秒价格）之和；
影响的人数=（购买的时间×相应年龄组每秒影响的人数）之和；
销售额=（占影响人数的份额×对应组影响的人数）之和．
（3）建模与求解：记x、y分别表示早、晚购买的时间（秒）；
S=第一个月的销售额（用千人表示），C=总的费用（元）；
Y、M、O分别表示年轻、中年、老年组受到广告影响的人数（千人）．
于是有：
C=400x+600y≤3600，
Y=30x+50y≥1500，
M=100x+80y≥2000，（*）
O=50x+40y≥2000，
10≤x≤60，10≤y≤60
要求S=0.1Y+0.05M+0.02O=9x+9.8y的最大值．
符合约束条件（*）的点（x，y）在如上图所示的六边形区域内，
求S=9x+9.8y的最大值转化为求直线y=9x/9.8+S/9.8的截距S/9.8的最大值．
由图知，当此直线过图中直线400x+600y=3600和x=60的交点A（60，20）时，
截距最大，此时Smax=9×60+9.8×20=736（千人）．
（4）结论：如上讨论可知，满意的结果是第一个月的销售额是736000（份）
只要购买晚八叫点前60秒和九点后20秒的广告即可．
此时，花掉了所有的预算并超过所有年龄组所要求影响的人数．

点评：现实生活中的优化问题一般有几种不同的解法，当现实问题中出现有两个以上变量的制约时，多用线性规划的问题来解决，在分析问题的过程中要注意从以下几个方面来进行考虑：（1）题目里有哪些变量，哪个是主要变量，哪个是制约变量．（2）变量之间满足什么等量（或不等）关系．（3）如果用一个数学模型来刻画，解答这个问题．（4）由（3）的分析计算我们能够得到什么样的结论．