Question

4．设数列{a_n}满足a₁=0，na_n+1-（n+1）a_n=n²+n+1，n∈N^*．
（1）证明：{$\frac{{a}_{n}+1}{n}$}为等差数列：
（2）求数列{a_n}的通项公式：
（3）证明：$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$＜$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）由条件可得n（a_n+1+1）-（n+1）（a_n+1）=n（n+1），两边除以n（n+1），运用等差数列的定义即可得证；
（2）由等差数列的通项公式，化简即可得到所求；
（3）由$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{（n-1）（n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$），运用裂项相消求和以及不等式的性质即可得证．

解答 （1）证明：na_n+1-（n+1）a_n=n²+n+1，
即为n（a_n+1+1）-（n+1）（a_n+1）=n（n+1），
即有$\frac{{a}_{n+1}+1}{n+1}$-$\frac{{a}_{n}+1}{n}$=1，
则{$\frac{{a}_{n}+1}{n}$}为首项是1，公差为1的等差数列；
（2）解：由（1）可得$\frac{{a}_{n}+1}{n}$=1+n-1=n，
即有a_n=n²-1；
（3）证明：$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{（n-1）（n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$），
则$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n-2}$-$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$）＜$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查等差数列的定义和通项公式的运用，考查裂项相消求和和不等式的性质证明不等式，考查运算能力，属于中档题．