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    设函数f(x)是定义在R上的增函数，且f(x)≠0，对于任意x1、x2∈R，都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2).

    (1)求证：f(x1-x2)=；

    (2)若f(1)=2，解不等式f(3x)>4f(x).

    (1)见解析

    (2)不等式f(3x)>4f(x)的解集是{x|x>1}.


    解析:

    (1)∵f(x1)=f(x1-x2+x2)=f(x1-x2)·f(x2)，

    又f(x)≠0，

    ∴f(x1-x2)=.

    (2)∵f(1)=2，∴2f(x)=f(1)·f(x)=f(1+x)，

    4f(x)=2·2f(x)=f(1)·f(1+x)=f(2+x).

    那么f(3x)>4f(x)可化为f(3x)>f(2+x).

    又∵函数f(x)是定义在R上的增函数，

    由f(3x)>f(2+x)，得3x>2+x，即x>1.

    故不等式f(3x)>4f(x)的解集是{x|x>1}.

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    ① 2是f(x)的周期；　　　　　　　 　② 函数f(x)的最大值为1，最小值为0；

    ③ 函数f(x)在(2，3)上是增函数；     ④ 直线x＝2是函数f(x)图象的一条对称轴.

    其中所有正确命题的序号是　　　　　.

     

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    1. A.
      恒为正数
    2. B.
      恒为负数
    3. C.
      恒为0
    4. D.
      可正可负

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