Question

如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A₁，A₂，B₁，B₂，焦点为F₁，F₂，延长B₁F₂与A₂B₂交于P点，若∠B₁PA₂为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：由题意，∠B₁PA₂就是与的夹角，设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a，b，c，则=（a，-b）、=（-c，-b），由向量的夹角为钝角可得-ac+b²＜0，把b²=a²-c²代入不等式，从而可求椭圆离心率的取值范围．
解答：由题意，∠B₁PA₂就是与的夹角，
设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a，b，c，则=（a，-b）、=（-c，-b），
由向量的夹角为钝角知道与的数量积小于0，所以有：-ac+b²＜0，
把b²=a²-c²代入不等式得：a²-ac-c²＜0，除以a²得1-e-e²＜0，
即e²+e-1＞0，解得e＜或e＞，
又0＜e＜1，所以＜e＜1，
所以椭圆离心率的取值范围为（，1）
故选D．
点评：本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是利用道与的数量积小于0，建立不等式，属于中档题．