Question

如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD=60°，AC∩BD=O．将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B-ACD，点M是棱BC的中点，DM=2

2

．
（1）求证：OM∥平面ABD；
（2）求证：平面DOM⊥平面ABC；
（3）求二面角D-AB-O余弦值．

Answer 1

分析：（1）利用三角形中位线定理，证出OM∥AB，结合线面平行判定定理，即可证出OM∥平面ABD．
（2）根据题中数据，算出DO=

1

2

BD=2，OM=

1

2

AB=2，从而得到OD²+OM²=8=DM²，可得OD⊥OM．结合OD⊥AC利用线面垂直的判定定理，证出OD⊥平面ABC，从而证出平面DOM⊥平面ABC．
（3）作OE⊥AB于E，连结DE，利用线面垂直的判定与性质证出AB⊥DE，可得∠DEO就是二面角D-AB-O的平面角． Rt△DOE中算出OE、DE的长，利用三角函数的定义算出cos∠DEO=

OE

DE

=

21

7

，即得所求二面角的余弦值．

解答：解：（1）∵O为AC的中点，M为BC的中点，∴OM∥AB．
又∵OM?平面ABD，AB?平面ABD，∴OM∥平面ABD．
（2）∵在菱形ABCD中，OD⊥AC，∴在三棱锥B-ACD中，OD⊥AC．
在菱形ABCD中，AB=AD=4，∠BAD=60°，可得BD=4．
∵O为BD的中点，∴DO=

1

2

BD=2．
∵O为AC的中点，M为BC的中点，∴OM=

1

2

AB=2．
因此，OD²+OM²=8=DM²，可得OD⊥OM．
∵AC、OM是平面ABC内的相交直线，∴OD⊥平面ABC．
∵OD?平面DOM，∴平面DOM⊥平面ABC．
（3）作OE⊥AB于E，连结DE，由（2）知OD⊥平面ABC，所以OD⊥AB．
∵OD、OE是平面ODE内的相交直线，∴AB⊥平面ODE．
∵DE?平面ODE，∴AB⊥DE．
可得∠DEO就是二面角D-AB-O的平面角．
在Rt△DOE中，OD=2，EO=

OA×OB

AB

=

3

，DE=

OD2+EO2

=

7

，
∴cos∠DEO=

OE

DE

=

21

7

，即二面角D-AB-0的余弦值为

21

7

．

点评：本题给出平面折叠问题，求证线面平行、面面垂直并求二面角的余弦值，着重考查了线面平行判定定理、线面垂直与面面垂直的判定和二面角的平面角的定义与求法等知识，属于中档题．