Question

15．平面内有四边形ABCD，$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{AD}$，且AB=CD=DA=2，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{b}$．
（1）若CD的中点为M，试用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$表示$\overrightarrow{BM}$；
（2）AB上有一点P，PC和BM交于点Q，|$\overrightarrow{PQ}$|：|$\overrightarrow{QC}$|=1：2．求|$\overrightarrow{AP}$|：|$\overrightarrow{PB}$|和|$\overrightarrow{BQ}$|：|$\overrightarrow{QM}$|．

Answer 1

分析 （1）如图所示，由$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{AD}$，且AB=CD=DA=2，可得B（-2，0），O（0，0），C（2，0），D（1，$\sqrt{3}$），O₁（0，$\sqrt{3}$），A$（-1，\sqrt{3}）$，M$（\frac{3}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$．令$\overrightarrow{BM}$=$m\overrightarrow{a}$+$n\overrightarrow{b}$，即可得出．
（2）如图所示，设$\overrightarrow{BP}=λ\overrightarrow{BA}$，则$\overrightarrow{OP}$=$（λ-2，\sqrt{3}λ）$．由于|$\overrightarrow{PQ}$|：|$\overrightarrow{QC}$|=1：2，可得$\overrightarrow{CQ}=\frac{2}{3}\overrightarrow{CP}$，于是$\overrightarrow{OQ}$=$\overrightarrow{OC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{CP}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{OC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OP}$=$（\frac{2}{3}λ-\frac{2}{3}，\frac{2\sqrt{3}}{3}λ）$．
由于B，Q，M三点共线，可得$\overrightarrow{OQ}=k\overrightarrow{OB}+（1-k）\overrightarrow{OM}$，可得$\left\{\begin{array}{l}{-2k+\frac{3}{2}（1-k）=\frac{2}{3}λ-\frac{2}{3}}\\{0+（1-k）×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{3}λ}\end{array}\right.$，即可得出．

解答 解：（1）如图所示，
∵$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{AD}$，且AB=CD=DA=2，
∴B（-2，0），O（0，0），C（2，0），D（1，$\sqrt{3}$），O₁（0，$\sqrt{3}$），A$（-1，\sqrt{3}）$，M$（\frac{3}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$．
$\overrightarrow{BM}$=$（\frac{7}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$．
$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{AD}$=（2，0），$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{BA}$=（1，$\sqrt{3}$）．
令$\overrightarrow{BM}$=$m\overrightarrow{a}$+$n\overrightarrow{b}$，
则$（\frac{7}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$=m（2，0）+n（1，$\sqrt{3}$）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{2m+n=\frac{7}{2}}\\{\sqrt{3}n=\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，
解得n-$\frac{1}{2}$，m=$\frac{3}{2}$．
∴$\overrightarrow{BM}$=$\frac{3}{2}\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}\overrightarrow{b}$．
（2）如图所示，设$\overrightarrow{BP}=λ\overrightarrow{BA}$，
则$\overrightarrow{OP}$=$（λ-2，\sqrt{3}λ）$．
∵|$\overrightarrow{PQ}$|：|$\overrightarrow{QC}$|=1：2，
∴$\overrightarrow{CQ}=\frac{2}{3}\overrightarrow{CP}$，
∴$\overrightarrow{OQ}$=$\overrightarrow{OC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{CP}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{OC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OP}$=$（\frac{2}{3}λ-\frac{2}{3}，\frac{2\sqrt{3}}{3}λ）$．
∵B，Q，M三点共线，
∴$\overrightarrow{OQ}=k\overrightarrow{OB}+（1-k）\overrightarrow{OM}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2k+\frac{3}{2}（1-k）=\frac{2}{3}λ-\frac{2}{3}}\\{0+（1-k）×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{3}λ}\end{array}\right.$，
解得λ=$\frac{1}{4}$，k=$\frac{2}{3}$．
∴|$\overrightarrow{AP}$|：|$\overrightarrow{PB}$|=3，
|$\overrightarrow{BQ}$|：|$\overrightarrow{QM}$|=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了向量共线定理、向量的三角形法则、向量的坐标运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．