Question

3．x＞0，y＞0且满足x+y=6，则使不等式$\frac{1}{x}$+$\frac{9}{y}$≥m恒成立的实数m的取值范围为（-∞，$\frac{8}{3}$]．

Answer 1

分析 不等式$\frac{1}{x}$+$\frac{9}{y}$≥m恒成立，得出m≤（$\frac{1}{x}$+$\frac{9}{y}$）_min，利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出

解答 解：∵x＞0，y＞0，x+y=6，
∴$\frac{1}{x}$+$\frac{9}{y}$=$\frac{1}{6}$×（x+y）×（$\frac{1}{x}$+$\frac{9}{y}$）=$\frac{1}{6}$×（10$+\frac{y}{x}$$+\frac{9x}{y}$）≥$\frac{1}{6}$×（10+2$\sqrt{9}$）=$\frac{16}{6}$=$\frac{8}{3}$，当且仅当y=3x时取等号．
∴（$\frac{1}{x}$+$\frac{9}{y}$）_min=$\frac{8}{3}$
不等式（$\frac{1}{x}$+$\frac{9}{y}$）≥m恒成立时，m$≤\frac{8}{3}$，
∴实数m的取值范围是（-∞，$\frac{8}{3}$]．

点评 本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题