分析 不等式$\frac{1}{x}$+$\frac{9}{y}$≥m恒成立,得出m≤($\frac{1}{x}$+$\frac{9}{y}$)min,利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出
解答 解:∵x>0,y>0,x+y=6,
∴$\frac{1}{x}$+$\frac{9}{y}$=$\frac{1}{6}$×(x+y)×($\frac{1}{x}$+$\frac{9}{y}$)=$\frac{1}{6}$×(10$+\frac{y}{x}$$+\frac{9x}{y}$)≥$\frac{1}{6}$×(10+2$\sqrt{9}$)=$\frac{16}{6}$=$\frac{8}{3}$,当且仅当y=3x时取等号.
∴($\frac{1}{x}$+$\frac{9}{y}$)min=$\frac{8}{3}$
不等式($\frac{1}{x}$+$\frac{9}{y}$)≥m恒成立时,m$≤\frac{8}{3}$,
∴实数m的取值范围是(-∞,$\frac{8}{3}$].
点评 本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质、恒成立问题的等价转化方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题
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A. | (-4,2) | B. | (-2,0) | C. | (-4,0) | D. | (0,2) |
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A. | -$\frac{5}{16}$ | B. | -$\frac{15}{16}$ | C. | -$\frac{25}{16}$ | D. | -$\frac{27}{16}$ |
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