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9.已知函数$f(x)=cosx•\sqrt{\frac{1+sinx}{1-sinx}}+sinx•\sqrt{\frac{1+cosx}{1-cosx}}$
(1)当$x∈(0,\frac{π}{2})$时,化简f(x)的解析式并求f(x)的对称轴和对称中心;
(2)当$x∈(π,\frac{3π}{2})$时,求函数f(x)的值域.

分析 利用同角三角函数的基本关系式化简函数的解析式.
(1)利用x的范围,化简函数的解析式,利用正弦函数的对称轴以及对称中心求解即可.
(2)求出相位的范围,然后求解函数的值域即可.

解答 (本题满分15分)
解:$f(x)=cosx•\sqrt{\frac{{{{(1+sinx)}^2}}}{{{{cos}^2}x}}}+sinx•\sqrt{\frac{{{{(1+cosx)}^2}}}{{{{sin}^2}x}}}$=$cosx•\frac{1+sinx}{{|{cosx}|}}+sinx•\frac{1+cosx}{{|{sinx}|}}$…(2分)
(1)当$x∈(0,\frac{π}{2})$时,$f(x)=cosx•\frac{1+sinx}{cosx}+sinx•\frac{1+cosx}{sinx}$
=1+sinx+1+cosx=$\sqrt{2}sin(x+\frac{π}{4})+2$…(4分)
令$x+\frac{π}{4}=kπ+\frac{π}{2},k∈Z$,即$x=kπ+\frac{π}{4},k∈Z$,
即函数的对称轴方程为$x=kπ+\frac{π}{4},k∈Z$; …(6分)
令$x+\frac{π}{4}=kπ,k∈Z$,即$x=kπ-\frac{π}{4},k∈Z$.
即函数的对称中心为$(kπ-\frac{π}{4},2),k∈Z$…(8分)
(2)当$x∈(π,\frac{3π}{2})$时,$f(x)=cosx•\frac{1+sinx}{-cosx}+sinx•\frac{1+cosx}{-sinx}$
=-1-sinx-1-cosx=$-\sqrt{2}sin(x+\frac{π}{4})-2$…(11分)
此时,$x+\frac{π}{4}∈(\frac{5}{4}π,\frac{7}{4}π)$,则$sin(x+\frac{π}{4})∈[{-1,-\frac{{\sqrt{2}}}{2}})$,$\sqrt{2}sin(x+\frac{π}{4})∈[{-\sqrt{2},-1})$
则值域为$({-1,\sqrt{2}-2}]$.…(15分)

点评 本题考查两角和与差的三角函数,三角恒等变换,考查计算能力.

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