【题目】已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)当时,讨论函数的零点个数.
【答案】(1)见解析;(2)见解析
【解析】
(1)讨论a的范围,得出f′(x)>0和f′(x)<0的解集,得出f(x)的单调性;(2)求出f(x)的极大值,判断极大值小于0,根据f(x)的单调性得出f(x)的零点个数.
(1),
令,其对称轴为,令,则.
当时,,所以在上单调递增;
当时,对称轴为,
若,即,恒成立,所以,所以在上单调递增;
若时,设的两根,,
当时,,所以,所以在上单调递增,
当时,,所以,所以在上单调递减,
当时,,所以,所以在上单调递增,
综上所述:当时, 在上单调递增;
若时, 在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增;
(2)当时,由(1)知在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,下面研究的极大值,
又,所以,
令,则(),可得在上单调递增,在上单调递减,且的极大值,所以,所以,
当时, 单调递增,所以
当时, 在上单调递减,所以
当时, 单调递增,
且,
,所以存在,使得,
又当时, 单调递增,所以只有一个零点,
综上所述,当时,在上只有一个零点.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】近年来.随着计划生育政策效果的逐步显现以及老龄化的加剧,我国经济发展的“人口红利”在逐渐消退,在当前形势下,很多二线城市开始了“抢人大战”,自2018年起,像西安、南京等二线城市人才引进与落户等政策放宽力度空前,至2019年发布各种人才引进与落户等政策的城市已经有16个。某二线城市与2018年初制定人才引进与落户新政(即放宽政策,以下简称新政):硕士研究生及以上可直接落户并享有当地政府依法给与的住房补贴,本科学历毕业生可以直接落户,专科学历毕业生在当地工作两年以上可以落户。高中及以下学历人员在当地工作10年以上可以落户。新政执行一年,2018年全年新增落户人口较2017年全年增加了一倍,为了深入了解新增落户人口结构及变化情况,相关部门统计了该市新政执行前一年(即2017年)与新政执行一年(即2018年)新增落户人口学历构成比例,得到如下饼图:
则下面结论中错误的是( )
A. 新政实施后,新增落户人员中本科生已经超过半数
B. 新政实施后,高中及以下学历人员新增落户人口减少
C. 新政对硕士研究生及以上的新增落户人口数量暂时未产生影响
D. 新政对专科生在该市落实起到了积极的影响
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【题目】如图,在四边形ABED中,AB//DE,ABBE,点C在AB上,且ABCD,AC=BC=CD=2,现将△ACD沿CD折起,使点A到达点P的位置,且PE.
(1)求证:平面PBC 平面DEBC;
(2)求三棱锥P-EBC的体积.
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【题目】在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数,),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(Ⅰ)写出当时直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(Ⅱ)已知点,直线与曲线相交于不同的两点,,求的最大值.
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【题目】已知椭圆C:的离心率,椭圆C上的点到其左焦点的最大距离为.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点A作直线与椭圆相交于点B,则轴上是否存在点P,使得线段,且?若存在,求出点P坐标;否则请说明理由.
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【题目】为预防病毒爆发,某生物技术公司研制出一种新流感疫苗,为测试该疫苗的有效性(若疫苗有效的概率小于%,则认为测试没有通过),公司选定个流感样本分成三组,测试结果如下表:
组 | 组 | 组 | |
疫苗有效 | |||
疫苗无效 |
已知在全体样本中随机抽取个,抽到组疫苗有效的概率是.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)现用分层抽样的方法在全体样本中抽取个测试结果,问应在组抽取多少个?
(Ⅲ)已知,,求不能通过测试的概率.
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【题目】一所学校计划举办“国学”系列讲座.由于条件限制,按男、女生比例采用分层抽样的方法,从某班选出10人参加活动.在活动前对所选的10名同学进行了国学素养测试,这10名同学的性别和测试成绩(百分制)的茎叶图如图.
(1)根据这10名同学的测试成绩,估计该班男、女生国学素养测试的平均成绩;
(2)若成绩大于等于75分为优良,从这10名同学中随机选取2名男生,2名女生,求这4名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点为直角坐标系的原点,极轴为轴的正半轴,两种坐标系中的长度单位相同,圆的直角坐标方程为,直线的参数方程为(为参数),射线的极坐标方程为.
(1)求圆和直线的极坐标方程;
(2)已知射线与圆的交点为,与直线的交点为,求线段的长.
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