Question

在如图的长方体中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AB上移动．
（1）当E为AB的中点时，求点E到平面ACD₁的距离；
（2）AE等于何值时，二面角D₁-EC-D的大小为．

Answer 1

【答案】分析：（1）分别以DA，DC，DD₁为x，y，z轴建立空间坐标系，求出向量，的坐标，设点E到平面ACD₁的距离为d，=（x，y，z）是平面ACD₁的法向量，由法向量的性质可求得向量，则d=，利用向量运算可得答案；
（2）设AE=l，由（1）知，E（1，l，0），易知平面ECD的法向量=（0，0，1），设=（x，y，z）是平面CED₁的法向量，由法向量的性质可求得，由cos=可得关于l的方程，解出即可；
解答：解：分别以DA，DC，DD₁为x，y，z轴建立空间坐标系，
知E（1，1，0），A（1，0，0），C（0，2，0），D₁（0，0，1），
（1）=（-1，0，1），=（-1，2，0），
设点E到平面ACD₁的距离为d，=（x，y，z）是平面ACD₁的法向量，
由，得，取=（2，1，2），
而=（0，1，0），
所以d==为所求；
（2）设AE=l，由（1）知，E（1，l，0），设=（x，y，z）是平面CED₁的法向量，
=（-1，2-l，0），=（0，-2，1），
而，即，取=（2-l，1，2）
又平面ECD的法向量=（0，0，1），
由cos=，即=，
解得l=2-，即AE=2-．
点评：本题考查利用空间向量求二面角、点到平面的距离，考查转化思想，考查学生空间想象能力、逻辑推理能力．