Question

（2013•嘉定区二模）设定义域为R的函数f(x)=

1 |x-1| ，x≠1 1，x=1

，若关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有3个不同的整数解x₁，x₂，x₃，则x₁²+x₂²+x₃²等于

5

．

Answer 1

分析：根据已知中函数f(x)=

1 |x-1| ，x≠1 1，x=1

的解析式，我们可以画出函数f(x)=

1 |x-1| ，x≠1 1，x=1

的图象，根据图象我们可以判断出关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有3个不同的整数解x₁，x₂，x₃时，x₁，x₂，x₃的值，进而求出x₁²+x₂²+x₃²的值．

解答：解：函数f(x)=

1 |x-1| ，x≠1 1，x=1

的图象如图所示：
由图易得函数的值域为（0，+∞）
令t=f（x）
则方程f²（x）+bf（x）+c=0
可化为t²+bt+c+0，
若此方程无正根，则方程f²（x）+bf（x）+c=0无根
若此方程有一个非1的正根，则方程f²（x）+bf（x）+c=0有两根；
若此方程有一个等 1的正根，则方程f²（x）+bf（x）+c=0有三根；
此时t=f（x）=1，x₁=0，x₂=1，x₃=2，x₁²+x₂²+x₃²=5
若此方程有两个非1的正根，则方程f²（x）+bf（x）+c=0有四根；
若此方程有一个非1，一个等1的正根，则方程f²（x）+bf（x）+c=0有五根；
综上x₁²+x₂²+x₃²=5
故答案为：5

点评：本题考查的知识点是分段函数的解析式及其图象的作法，根的存在性及根的个数判断，其中画出函数f(x)=

1 |x-1| ，x≠1 1，x=1

的图象，根据图象我们可以判断出关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有3个不同的整数解x₁，x₂，x₃时，所满足的条件是解答醒本题的关键．