Question

设函数f（x）=lnx，且x₀，x₁，x₂∈（0，+∞），下列命题：
①若x₁＜x₂，则

1

x2

＞

f(x1)- f(x2)

x1-x2

②存在x₀∈（x₁，x₂），（x₁＜x₂），使得

1

x0

=

f(x1)- f(x2)

x1-x2

③若x₁＞1，x₂＞1，则

f(x1)- f(x2)

x1-x2

＜1
④对任意的x₁，x₂，都有f（

x1+x2

2

）＞

f(x1) +f(x2)

2

其中正确的命题是（　　）

• A、①②
• B、②③
• C、③④
• D、②③④

Answer 1

分析：根据导数的几何意义可知f'（x₁）=

1

x1

表示在x₁处的切线的斜率，

f(x1) -f(x2)

x1-x2

表示x₁与x₂两点的斜率，结合图象进行求解即可．

解答：解：f'（x）=

1

x

f'（x₁）=

1

x1

表示在x₁处的切线的斜率．

f(x1) -f(x2)

x1-x2

表示x₁与x₂两点的斜率．
①若x₁＜x₂，由图象考查直线的斜率不满足

1

x2

＞

f(x1)- f(x2)

x1-x2

，故不正确；
②存在x₀∈（x₁，x₂），（x₁＜x₂），图中蓝色的切线就是直线在x₀处的切线，能够使得

1

x0

=

f(x1)- f(x2)

x1-x2

，正确．
③若x₁＞1，x₂＞1，

1

x

＜1，所以

f(x1)- f(x2)

x1-x2

＜1正确．
④对任意的x₁，x₂，

f(x1) -f(x2)

x1-x2

表示x₁与x₂两点的斜率．都有f（

x1+x2

2

）＞

f(x1) +f(x2)

2

．正确．
结合图象可知选项②③④正确；
故选D

点评：本题主要考查了导数的几何意义以及函数的图象等有关知识，属于基础题．