Question

如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=

2

a，点E是PD的中点．
（I）证明PA⊥平面ABCD，PB∥平面EAC；
（II）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角θ的正切值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据底面ABCD是菱形判断出∠ABC=60°，且四边长相等，在△PAB中，由PA²+AB²=2a²=PB²可推断出PA⊥AB．同样可推断出，PA⊥AD，进而根据直线与面垂直的定义判断出PA⊥平面ABCD．进而根据

PB

=

EA

+

EC

.判断出

PB

、

EA

、

EC

共面．，进而根据直线与面平行的判定法则，推断出PB∥平面EAC．
（Ⅱ）作EG∥PA交AD于G，由PA⊥平面ABCD．GH⊥AC于H，连接EH，进而可推断出EG⊥平面ABCD．EH⊥AC，进而可知∠EHG即为二面角θ的平面角．进而根据E是PD的中点，从而G是AD的中点，分别求得EG和GH，进而根据tanθ=

EG

GH

求得答案．

解答：（Ⅰ）证明：因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，
所以AB=AD=AC=a，
在△PAB中，由PA²+AB²=2a²=PB²知PA⊥AB．
同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD．
因为

PB

=

PD

+

DC

+

CB

=2

ED

+

DC

+

DA

=(

ED

+

DA

)+(

ED

+

DC

)=

EA

+

EC

.
所以

PB

、

EA

、

EC

共面．
又PB?平面EAC，所以PB∥平面EAC．

（Ⅱ）解：作EG∥PA交AD于G，由PA⊥平面ABCD．
知EG⊥平面ABCD．
作GH⊥AC于H，连接EH，则EH⊥AC，∠EHG即为二面角θ的平面角．
又E是PD的中点，从而G是AD的中点，EG=

1

2

a，AG=

1

2

a，GH=AGsin60°=

3

4

a.
所以tanθ=

EG

GH

=

2 3

3

.

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定和二面角的问题．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．